Application du théorème de Cauchy-Lipschitz

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais montrer que la fonction suivante est une bijection de dans :

Soit l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre sur I, un intervalle de . Pour tout , on définit l'application , avec .

Mon problème se situe au niveau de la surjectivité, l'injectivité se montrant par l'unicité des solutions avec conditions initiales. Finalement, cela revient à se demander si l'on peut associer une solution à toute condition initiale, mais je ne vois pas a priori pourquoi ce serait le cas.

Pendant que j'y suis, j'aimerais également prouver l'équivalence suivante : , sachant que l'on a déjà prouvé que s'il existe et tels que , alors pour tout . La réciproque est évidente, mais l'implication me paraît plus difficile à montrer.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour à tous,

J'aimerais montrer que la fonction suivante est une bijection de dans :

Soit l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre sur I, un intervalle de . Pour tout , on définit l'application , avec .

Mon problème se situe au niveau de la surjectivité, l'injectivité se montrant par l'unicité des solutions avec conditions initiales. Finalement, cela revient à se demander si l'on peut associer une solution à toute condition initiale, mais je ne vois pas a priori pourquoi ce serait le cas.

Pendant que j'y suis, j'aimerais également prouver l'équivalence suivante : , sachant que l'on a déjà prouvé que s'il existe et tels que , alors pour tout . La réciproque est évidente, mais l'implication me paraît plus difficile à montrer.

Salut,

Si tu n'as pas de problème d'existence de solution sur tout , tu peux utiliser Cauchy-Lipschitz pour dire que ton application est surjective (existence locale de solutions) et injective (unicité).

Pour ton équivalence, tu peux regarder l'équation satisfaite par

Si tu ne te trompes pas, tu vas tomber sur une équation différentielle très sympathique satisfaite par cette quantité, aussi appelé wronskien pour briller en société.

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rvz, qui se rappelle du temps où il donnait des tds avec des équa diff...