serie

[invite303853b2]

Bonsoir à tous!
Voilà j'ai une petite question sur un exercice ou je suis pas sure du resultat, j'aimerai que quelqu'un me le confirme ou m'explique comment ou es mon erreur merci!

Enoncé 3:
Determiner le rayon de convergence de an= n²-2n +3 /n!

J'ai utiliser le critère de d'Alembert a(n+1)/an

a(n+1)= ((n+1)²- 2(n+1)+3)/(n+1)! c'est bien ça?

après calcule, je trouve R= 0. c'est juste??

Merci énormement pour toute l'aide apportées pour me corriger et m'expliquer
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

A mon avis tu as inversé ton critère de D'alembert. Le rayon de convergence est plutot égal à l'infini.

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rvz

[invite303853b2]

non pas du tout à la fin il me reste a(n+1)/an = (1+2/n²)/(n-1+1/n+3/n²) et ça tend vers 0 quand n-->infini

[breukin]

Donc la série a_nzⁿ est convergente pour tout z, le rayon de convergence est infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite303853b2]

je comprend moi je trouve un rayon de convergence qui vaut 0 pas infini

[breukin]

Revoyez précisément la règle, vous avez dû la comprendre de travers.
Par ailleurs, je suis allé au delà de ce qui était nécessaire en introduisant un zⁿ.

[invite9fc497b1]

a(n+1)/an = 1/R donc si a(n+1)/an=0 alors R->+infini

[breukin]

On est dans la confusion totale depuis le début parce que la question est mal posée à la base : "Déterminer le rayon de convergence de a_n= (n²-2n+3)/n!" n'a aucun sens. Une série Σa_n converge ou ne converge pas, mais elle n'a pas de rayon de convergence. Seule une fonction d'une variable sous forme de série possède un rayon de convergence, lieu des valeurs où elle converge.
D'Alembert dit que si |u_n+1/u_n| converge vers v<1, alors la série Σu_n est convergente.
Ici, |a_n+1/a_n| converge vers 0<1, donc la série Σa_n est convergente.
Mais aussi |a_n+1zⁿ⁺¹/a_nzⁿ| = |a_n+1z/a_n| converge aussi vers 0<1 pour tout z, donc la série Σa_nzⁿ est convergente pour tout z ; cette dernière a donc un rayon de convergence infini.
Voilà les choses dites de manière cohérente.

[breukin]

Et donc de manière générale, si |u_n+1/u_n| converge vers v<1, alors pour tout |z|<1/v, la série de terme général Σu_nzⁿ est convergente ; 1/v est son rayon de convergence.