probleme integrale

[invite86d2a51a]

salut je bloque sur un exo d'integration voici l'énoncé[IMG]file:///C:/Users/Mounir/Desktop/aide.jpg[/IMG] j'ai tenté une integration par partie mais ca ne marche pas quelqu'un pourrait il m'aider??
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[invite0fa82544]

On veut bien, mais si on avait l'intégrale en clair, ce serait plus aisé..............

[invite86d2a51a]

IL s'agit de l'integrale de 0 à 2pi de (cosx)^2n et de l'integrale de 0 a 2pi de (sinx)^2n

[invite0fa82544]

Exprimer le cos et le sin avec les formules d'Euler, et utiliser le fait que l'intégrale de 0 à 2 pi de e^(i r x), r entier, est nulle sauf si r=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86d2a51a]

et il faut demontrer qu'elles sont egales

[invite86d2a51a]

mais quand j'essaie je trouve une somme se sinus et de cos qui ne simplifie pas!

[inviteaf1870ed]

Deux autres méthodes : tu intègres par parties, comme pour les intégrales de Wallis
ou alors tu écris (cosx)^2n=(cos²x)^n=[(1+cos2x)/2]^n et tu fais un changement de variable dans l'intégrale

[invite86d2a51a]

le probleme pour l'ipp c'est que on a pas la primitive de (cosx)^n

[invite02e16773]

Tu notes I2n ton intégrale, tu intègre par partie avec comme fonctions cos et cos^(n-1) et tu trouves une relation de récurrence entre I2n et I2n-2.
Puis tu conjectures l'expression de I2n en fonction de n, tu démontres par reccurence la formule ainsi trouvée.

[invite86d2a51a]

ok mais pourquoi l'intégrale de 0 à 2 pi de e^(i r x), r entier, est nulle sauf si r=0

[invite86d2a51a]

je n'arrive toujours pas a etablir l'égalité entre les deux integrales

[invite0fa82544]

"ok mais pourquoi l'intégrale de 0 à 2 pi de e^(i r x), r entier, est nulle sauf si r=0 "
... parce que e^(i r 2 pi)=1 sauf si r=0 !!!

uand on utilise les formules d'Euler, il n'y a plus ni sin ni cos (elles sont faites pour ça). Il n'y a donc rien de tel à resommer

[invite86d2a51a]

ok mais si on met r=0 e^ir2pi ca fait 1

[invite0fa82544]

Eh oui : si r=0, il faut calculer int_0^2pi dx = 2 pi ; dans tous les autres cas, il vient int_0^2pi e^(i rx) dx =[e^(i r 2 pi)-1]/(ir)=0 quand r dans Z.

[invite86d2a51a]

je suis entierement d'accord avec ca

[invite86d2a51a]

donc pour le sinus ^2n onlinearise avec les formules d'euler et ca marche aussi