[MP*] Primarité et irréductibilité

[invitea83062ce]

Bonsoir tout le monde
Voici mon humble problème
Dans un anneau commutatif intègre A dont le groupe des unités (éléments inversibles) est noté U, on dit qu'un élément x non nul, et non inversible est :

irréductible : pour tout y,z de A x=yz=>y€U ou z€U
premier : pour tout y,z€A , x divise yz => x divise y ou x divise z


1ere question ; montrer que premier => irréductible
si x=yz alors x divise yz, donc x divise y ou z
on peut donc, en supposant que x divise y, écrire qu'il existe k€A tel que y=kx, et donc x=kxz
donc kz=1a par identification (x n'étant pas inversible) et donc z est inversible et son inverse est k
Inversement pour y

2nd question ; dans un anneau principal, tout élément irréductible est premier
Pour celle-ci j'ai vraiment du mal par contre, je vois pas comment me servir que A est un anneau principal.
Petite indication : si x divise yz, on pourra utilisé l'idéal yA+zA

Merci
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[invite5f67e63a]

Boh c'est pas trop compliqué. Ca se démontre comme dans Z.

Prends x un élément irreductible, et suppose que x divise yz.
Soit x divise y et c'est fini, soit x ne divise pas y alors (x)+(y)=1, en effet (x)+(y) contient (x). Si c'était (x) alors x diviserait y ce qui est exclu. Donc (x)+(y)=(u), donc x=ua avec a dans A, ce qui implique que soit u soit a soit inversible.

Si c'est a alors (x)=(u), mais on a vu que c'est pas possible, c'est donc que u est inversible donc (x)+(y)=1. Il existe donc a et b tel que ax+by=1.
Donc axz+byz=z, comme x divise axz+byz, x divise z.

[invitea83062ce]

Boh c'est pas trop compliqué. Ca se démontre comme dans Z.

Prends x un élément irreductible, et suppose que x divise yz.
Soit x divise y et c'est fini, soit x ne divise pas y alors (x)+(y)=1, en effet (x)+(y) contient (x). Si c'était (x) alors x diviserait y ce qui est exclu. Donc (x)+(y)=(u), donc x=ua avec a dans A, ce qui implique que soit u soit a soit inversible.

Si c'est a alors (x)=(u), mais on a vu que c'est pas possible, c'est donc que u est inversible donc (x)+(y)=1. Il existe donc a et b tel que ax+by=1.
Donc axz+byz=z, comme x divise axz+byz, x divise z.

Je ne comprends pas l'écriture (x)+(y)=1, tu veux dire que x et y sont premier entre eux ?

[invite5f67e63a]

Oui (x) c'est l'idéal engendré par x, c'est xA, si tu preferes. Pour 1, ok j'aurai du le noter (1), mais on le note toujours 1 tout court... c'est l'idéal engendré par 1...c'est A!

Effectivement (x)+(y)=1 est la définition de x et y sont premiers entre eux. Dans un anneau factoriel cela correspond bien a ce que tu imagine. Mais cette définition est plus generale (dans un anneau de Dedekind par exemple)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea83062ce]

Merci pour ta réponse