équations de degrés 4

[invite4b33ea0e]

Bonjour à tous !
Pouvez-vous m'aidez à résoudre 2z^4-6z^3+9z^2-6z+2=0
Merci d'avance.
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[invitea0b22930]

Je ne vois pas de racine 'évidente'.
Donc Méthode de Ferrari

[invite4b33ea0e]

Mais normalement je ne suis pas censée avoir appris cette méthode...

[invite5150dbce]

Mais normalement je ne suis pas censée avoir appris cette méthode...

Il y a d'autres méthodes plus simples. Tout d'abord résoudre une équation de degré 4 par radicaux suggère savoir résoudre une équation de degré 3 par radicaux

2z^4-6z^3+9z^2-6z+2=0
<=>z^4-3z^3+(9/2)z^2-3z+1=0
<=>(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)=0
Développe, réduits, procède par identification et résouds le système.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b33ea0e]

<=>z^4-3z^3+(9/2)z^2-3z+1=0
<=>(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)=0

C'est égale ???

[invitea0b22930]

1+i et 1-i sont racines

[invite4b33ea0e]

1+i et 1-i sont racines

Explication... please

[invitea0b22930]

J'ai écrit un petit programme pour rechercher les racines éventuelles de la forme x+iy avec x et y entiers. Il m'a sorti 1+i et 1-i.
Après il suffit de factoriser par (z-(1+i))(z-(1-i))=z²-2z+2
et on est ramené au produit de 2 facteurs du second degré.

[invite4b33ea0e]

J'ai écrit un petit programme pour rechercher les racines éventuelles de la forme x+iy avec x et y entiers. Il m'a sorti 1+i et 1-i.

Oui certes mais moi je n'ai pas ce programme donc c'est un peu plus laborieux pour ma part. En plus si je remplace z par 1+i ça ne fait pas 0.

[invitea0b22930]

Autant pour moi, je me suis planté dans la programmation de la fonction.
C'est donc faux !

[invite5150dbce]

C'est égale ???

Oui pourquoi ne le serais-ce pas ?

[invite0fa82544]

Si, si, 1±i est racine puisque 1±i=sqrt(2) e^(±i pi/4). La factorisation donne [(z-1/2)^2+1] (z^2-2z+2), d'où les deux autres racines 1± i.

[inviteaf1870ed]

C'est un polynome symétrique, regarde l'exercice 8 dans le lien ci joint :
http://www.ilemaths.net/maths_1_fonc...ome_12exos.php

L'astuce est de poser Z=z+1/z

[invite0fa82544]

J'ai oublié un facteur 1/2:

Si, si, 1±i est racine puisque 1±i=sqrt(2) e^(±i pi/4). La factorisation donne [(z-1/2)^2+1] (z^2-2z+2), d'où les deux autres racines (1± i)/2.

[invitea0b22930]

Non, je ne m'étais pas trompé:

# -*- coding: utf-8 -*-
def u(z):
    return 2*z*z*z*z-6*z*z*z+9*z*z-6*z+2

L=[x+y*(0+1j) for x in range(-5,+6) for y in range(-5,6)]

for z in L:
    print z,u(z)

(1-1j) 0j
(1+0j) (1+0j)
(1+1j) 0j

[inviteaf1870ed]

Je répète la méthode générale pour résoudre les équations à coefficients symétriques :

1/On divise par z²
2/On pose Z=z+1/z
3/On résoud l'équation du second degré en Z, qui donne les solutions Z1 et Z2
4/On résoud les deux équations correspondantes :

z+1/z=Z1
z+1/z=Z2

C'est une méthode générale : voir ici http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_quartique

[invitea0b22930]

C'est intéressant, merci pour le lien.