Bonjour,
Nouvel inscrit sur votre forum, j'espère que vous pourrez m'aider à résoudre mon problème.
Sur l'intervalle [0,pi] on définie la fonction S par:
S(x)= integrale (sint t)/t dt avec x en borne sup et 0 en borne inf
On me demande de dire pourquoi la fonction S est dérivable sur [0,pi]
J'avoue être complètement perdu et je ne vois pas quelle méthode employer.
Merci d'avance.
J'ai essayé de chercher la solution de cette intégrale mais à chaque fois je me retrouve avec des formes indéterminées.
Je me suis aussi essayé à la loi de l'Hospital pour simplifier sint/t mais du fait de cette intégrale je bloque.
De manière générale, une fonction de la forme
F(x) = integrale de f(t) dt, entre 0 et x
est ce qu'on appelle une primitive de f : par le théorème fondamental de l'anayse, elle est dérivable en tout point où l'intégrande f est une fonction continue.
Donc si je comprend bien il faudrait que j'arrive à demontrer la continuité de sint/t.
En utilisant:
f'(x)= lim (f(x)-f(x0))/(x-xo)
x=>x0
Suis je sur la bonne voie?
Ca, c'est pour montrer que f est dérivable en x0. Tu as juste besoin de vérifier que ton f admet une limite en tout point de [0,PI] et que cette limite coincide avec sa valeur. Au final, il n'y a qu'un seul point litigieux.
Dans ce cas, cela voudrait dire que:
Comme lim sin t/t=1 et lim sin t/t=0
t->0 t->pi
Alors, S(x) est dérivable sur |0,pi]?
Mais le fait qu'une des 2 bornes de S(x) soit x n'est pas gênant?
Merci.
Enonce_moi le théorème fondamental de l'analyse, celui que tu as dû voir en terminale, qui relie primitive et intégrale : que dit-il ?
Le problème c'est que la terminale est loin pour moi déjà et je suis en train de reprendre des études.
Donc je n'ai plus tous les automatismes.
Avec mes excuses.
Mais j'ai quand même retrouvé cela:
Si f est une fonction intégrable sur [a,b] et si x0 est un réel de [a,b] tel que f soit continue en x0, alors F définie sur [a,b] par,
F(x) = int_f(t) dt (avec "x" borne sup et "a" borne inf)
est dérivable en x = x0 et F'(x0) = f(x0).
bingo.
Avec ça, ton problème est résolu.
Merci.
On perd avec le temps....
Rassure-toi, c'est un point que la plupart des élèves ne comprennent pas. Ca vient à mon avis de la façon dont on enseigne ce théorème.
En général, on retient juste l'algorithme : pour calculer l'intégrale de a à b de f(t) dt, trouver une primitive F et évaluer F(b)-F(a).
A bas les recettes de cuisine !
