probleme avec les applications lipschitzienne

[invite69d45bb4]

bonjour à tous


j'ai encore un probleme avec les applications lipschitziennes


si f est lipschitzienne l'ensemble K de ses rapports est un intervalle fermé non majoré c'est à dire du type [a ; + inf[;il existe donc un plus petit rapport a.




pour montrer que K est une partie fermée voici comment ils procedent:

si (K_n)_n appartient à K^N et converge vers k on a pour tout (x;y) fixé dans A^2 et tout n appartient à N

N(f(x)-f(y))<ou = à k_n foi P(x-y)

par passage à la limite N(f(x)-f(y))< ou = à k foi P(x-y) et k appartient à K ce qui prouve que K est une partie fermée.


mes questions :

pourquoi au tout debut de la definition d'une application lipschitzienne on a P(f(x)-f(y))< ou = à k foi N(x-y) et apres on a
N(f(x)-f(y)) < ou = à k_n foi P(x-y) ?


et aussi que signifie le passage à la limite?


et enfin qu'est ce qu'une partie fermée ? (je n'ai pas encore vu ce qu'etait une partie fermée dans mon cours )


merci par avance
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

Un définition de la fermeture d'un ensemble est que "toute suite convergente de cet ensemble converge dedans (en gros la limite est elle aussi dans l'ensemble).

Ensuite tu écris l'inégalité qui découle du fait que k_n est dans l'ensemble des rapports, et tu passe à la limite en constatant que l'application produit dans R est continue. C'est plus clair ?

[invite69d45bb4]

euh j'ai rien compris

(k_n)_n est une suite ?

et c'est quoi l'application produit j'en ai jamais entendu parler .

et pour la continuité je ne sais pas non plus moi je connais que les fonctions continues .

[invite57a1e779]

euh j'ai rien compris

(k_n)_n est une suite ?

Oui, est une suite d'éléments de , dont on suppose qu'elle converge vers .

Par définition de , est, pour tout , -lipschitzienne ; donc, pour tout couple d'éléments de :
.
Tu passes à la limite lorsque tend vers l'infini, et tu obtiens :
, ce qui prouve que est -lipschitzienne, donc que appartient à , ce qui caractérise comme un fermé de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

je ne comprends toujouirs pas le passage à la limite comment on calcule cette limite?


et pourquoi aussi on à N(f(x)-f(y))< ou = à k_n foi P(x-y) et pas plutot

P(f(x)-f(y))< ou = à k_n foi N(x-y).

[invite57a1e779]

Comme tu n'as pas donné les définitions de N et P, il est difficile de répondre.. Ce n'est peut-être qu'une erreur de typographie.

Le principe est que l'on écrit proprement la définition de « est -lipschitzienne», puis on passe à la limite lorsque tend vers l'infini : les normes de et de ne dépendent pas de , donc subsistent sans modification, alors que tend vers ; on se retrouve alors avec l'inégalité qui caractérise comme -lipschitzienne.

On en déduit que l'on ne peut pas «sortir» de par passage à la limite sur une suite d'éléments de , c'est-à-dire que est fermé.

[invite69d45bb4]

voici la definition d'une application lipschitzienne:

on considere 2 evn (E;N) et (F;P)
si A est une partie de E et f application de A dans E on dit que f est lipschitzienne s'il existe k dans R+ tel que

pour tout (x,y) appartient à A^2 on a

P(f(x)-f(y))< ou = à k foi N(x-y) f est dite k-lipschitzienne.


est ce que ca change quelque chose alors ?

[invite57a1e779]

C'est ce que je disais, il y a une erreur de typographie, les normes ont été échangées entre l'énoncé et la démonstration.

On écrit que est, pour tout , -lipschitzienne : pour tout couple d'éléments de , .
On fait tendre vers l'infini pour obtenir : , c'est-à-dire que est -lipschitzienne.

[invite69d45bb4]

mais il y a thepasboss qui m'a dit qu'il y avait un produit de suite or je ne vois qu'une suite moi c'est (k_n)_n.

donc là je n'y copmprends plu rien

[invite69d45bb4]

personne pour m'aider ?

[invite69d45bb4]

pourquoi a t ont un produit de suites ?