Therorème des résidus, prolongement analytique

[invitefd048d1f]

Bonjour tout le monde!

Voilà mon problème.
Tout d'abord je tiens à préciser qu'il s'agit d'une utilisation en physique, donc ce n'est pas très rigoureux, il s'agit juste d'un problème de compréhension!

Dans un TD on nous demande de retrouver le même résultat dans les deux cas que j'ai exposé sur ce magnifique dessin :

Dessin

Donc dans le premier cas on a :
Intégrale Rose + Intégrale verte = 2iPi(Res(z1) + Res(z2))

Or dans le second cas, qu'on nous propose de résoudre comme indiqué (le schéma nous est donné), on a :

Intégrale Rose + Intégrale Orange sur R + Petit contour = 2iPi(Res(z1)+Res(z2) )

Or Intégrale Orange sur R = Intégrale Verte du 1er cas
Et Petit contour = 2iPi*Res(z2)


On a donc au final :
Intégrale Verte + Intégrale Rose = 2iPi*Res(z1) puisque les Res(z2) se sont annulés des deux côtés!


Si quelqu'un peut me dire ou est la faille dans mon raisonnement je lui serais très reconnaissant

Merci d'avance!
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[invitea6f35777]

Salut,

Or Intégrale Orange sur R = Intégrale Verte du 1er cas

pourquoi ? il n'y a aucune raison pour que cela soit vrai, d'où tu sors ça ? il y a t'il un passage à la limite dont tu n'as pas parlé?

Dans les deux cas tu obtiens le même résultat puisque tu tourne une et une seule fois dans le sens des aiguilles d'une montre autour des deux pôles lorsque tu parcours le parcours total dans le sens de la flèche. C'est aussi simple que ça.

[invitefd048d1f]

Merci pour ton aide!

Hmm ah bon je pensais que c'était logique moi, puisque l'espace non pris en compte dans l'intégrale orange sur R (le temps de faire le contour de dessou) tend vers 0, même si je ne l'ai pas précisé.

En fait je suis d'accord qu'on retrouve le même résultat au total.

Mais pour m'exprimer plus clairement, il nous est dit qu'on doit retrouver la même valeur pour l'intégrale sur R.

En fait si j'ai bien compris le sens de ton explication, il ne faut compter Res(z2) une seule fois?


ça parait logique mais d'un autre côté j'avais compris qu'on appliquait un mini théorème des résidus pour trouver la valeur du petit contour, et qu'ensuite on appliquait le théorème normalement en connaissant la valeur de ce contour...


Je ne sais pas si je suis très clair, mais merci pour ta réponse en tout cas!

[invite57a1e779]

Intégrale Orange sur R = Intégrale Verte du 1er cas

Cela me paraît incongru : les pôles ne sont pas les mêmes, on intègre donc pas la même fonction dans les deux cas ; du coup, je ne vois pas pourquoi on obtiendrait la même intégrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd048d1f]

Bon au moins vous êtes d'accord sur ce qui ne va pas

Mais notre prof a bien établi que :
Intégrale sur tout le contour orange = Intégrale sur R + 2i*Pi*Res(z2)


Enfin il ne nous l'a pas fait avec les couleurs lol.
C'est un physicien mais bon quand même.

Donc voilà je ne comprends pas trop...
Je crois qu'on appelle ça le contour de Landau non?

Edit : Les pôles ne sont pas les mêmes mais c'est plus ou moins la même fonction qu'on prolonge analytiquement non?

[invite57a1e779]

Quelle est précisément l'intégrale que l'on cherche à calculer ?

[invitea6f35777]

Si tu passes à la limite et que tu rétrécis le petit passage vers le pôle z2. A la fin tu vas obtenir une courbe en deux parties, d'abord l'intégrale sur R et ensuite un petit cercle autour du pôle, l'intégrale sur le petit cercle est et l'intégrale sur R c'est l'intégrale sur R (sur le contour vert). L'intégrale sur le contour orange est donc bien la somme des deux (je pense que pour ton prof le contour orange contient le petit contour autour du pôle, c'est peut-être ça qui te gènes.

Pour calculer l'intégrale sur tout entier, dans le premier cas (où les deux pôles sont tous les deux de parties imaginaires strictement positives) tu as juste à faire tendre le rayon du demi-cercle vers l'infini.

Dans le deuxième cas je me demande vraiment bien pourquoi il s'amuse à entourer le deuxième pôle alors que ça ne sert strictement à rien. Certes on peut l'entourer par un petit contour, rétrécir ce contour jusqu'à le scinder en un petit cercle isolé et le segment de droite du premier cas, pour se rendre compte qu'en fait il suffisait de faire dès le départ le même contour que dans le premier cas qui n'entoure pas le deuxième pôle ... en d'autres termes c'est crétin

énoncé comme ça c'est très obscure n'aurait tu pas l'énoncé exacte avec toutes les hypothèses parce que là on est pas capable de deviner qu'est-ce que voulait faire ton prof.

[invitefd048d1f]

Merci pour ton explication.

Pff je veux bien vous passer l'énoncé mais bon c'est un peu long vous n'allez pas vous taper tous les calculs.

Mais tu as exactement compris ce que je voulais dire (au passage c'est moi qui ai rajouté les couleurs et tout lol, mais c'était pour rendre plus simple mon problème...)!

Je suis tout a fait d'accord avec toi sur le fait que :

L'intégrale Orange = Intégrale sur R + 2i*Pi*Résidus(z2)

Jusqu'ici tout le monde est d'accord.
Et pareillement, j'ai trouvé que ça revient au même d'entourer directement le deuxième pôle.

Seulement le prof nous dit lui que justement on devrait retrouver le résultat COMME S'IL Y AVAIT deux pôles! Et je ne comprends pas puisque le pôle z2 étant normalement compté 2 fois, une de chaque côté du signe égal, il n'intervient donc pas, ce qui semble logique d'ailleurs...

L'intérêt est en fait d'obtenir toujours le même résultat quelque soit le signe du second pôle, pour obtenir une relation physique qui est toujours valable quelque soit le cas!

J'ai cours demain avec lui, donc je lui demanderai et je vous dirai ce qu'il a dit si jamais ça vous intéresse!

Merci encore en tout cas

[invite57a1e779]

Pff je veux bien vous passer l'énoncé mais bon c'est un peu long vous n'allez pas vous taper tous les calculs.

Il faudrait au moins avoir un énoncé compréhensible, car je répète que les deux chemins ne peuvent pas correspondre à deux calculs de la même intégrale, il n'y a donc aucune comparaison possible entre eux.