Principe de contraction de Banach

[invite7b78905a]

Bonjour à tous,

J'ai une question concernant un exercice sur les contractions de Banach.
Voici l'énoncé : Montrer que (le nombre d'or) est l'unique point fixe de l'application suivante :


Assez trivialement, on montre que est bien un point fixe de cette application en résolvant l'équation du second degré qui en découle et en ne gardant que la racine positive mais j'ai un problème pour montrer que c'est l'unique. En effet, l'idée est d'appliquer le théoreme de contraction de Banach.
Pour ce faire, on vérifie assez aisément que les deux premières conditions sont satisfaite (on travail bien sur un fermé d'un espace de Banach et on a bien l'image de ce fermé qui est toujours un fermé inclus dans l'esp de départ). Mon problème se situe au niveau de la démonstration qu'il s'agit bien d'une application contractante c'est à dire que

avec
Quelqu'un pourrait-il m'aider pour trouver un qui vérifie ces conditions avec l'application concernée. Mon problème est que je n'arrive pas à majorer . Merci d'avance !
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[invitec317278e]

A priori, ce n'est pas une application contractante.

[invite7b78905a]

Pourriez-vous être plus explicite ? Je pense qu'elle l'est sur cet intervalle puisque l'exercice laisse supposer que l'application répond aux hypotheses du théorème du point fixe. D'ailleurs en cherchant un peu je suis tombé sur un document sur le nombre d'or présenté par deux professeurs d'université où ils affirment que l'application est contractante mais malheureusement ils ne donnent pas de piste pour le démontrer. => https://www.irisa.fr/symbiose/people/asiegel/Presentations/NombreDor1.pdf (page 68/122)

[invitea0db811c]

Bonjour,
A la limite, ce que tu peux faire, c'est montrer qu'il existe un a strictement positif tel que le point fixe de F soit dans [1+a,2], et comme ça étudier la restriction de F à cet intervalle, qui là sera contractante (ce n'est qu'une idée, je n'est pas réfléchis à la méthode, mais ça ne doit pas être bien dur)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Pourriez-vous être plus explicite ? Je pense qu'elle l'est sur cet intervalle puisque l'exercice laisse supposer que l'application répond aux hypotheses du théorème du point fixe. D'ailleurs en cherchant un peu je suis tombé sur un document sur le nombre d'or présenté par deux professeurs d'université où ils affirment que l'application est contractante mais malheureusement ils ne donnent pas de piste pour le démontrer. => https://www.irisa.fr/symbiose/people...NombreDor1.pdf (page 68/122)

Si l'application était contractante, sa dérivée n'aurait pas l'indécence de tendre vers 1 en 0.
Ceci dit, je trouve ça particulièrement tiré par les cheveux de s'emmerder comme ça juste pour le point fixe d'une application aussi simple à étudier par ailleurs