Irréductibilité dans Z[i]

[invite52487760]

Bonsoir à tous :
J'ai le problème suivant qu'il faut résoudre à l'aide de deux lemmes que je vais écrire çi-dessous :
Voici l'énoncé du problème :
Soit un nombre premier.
Alors :
est irréductible dans
Voiçi le 1 er lemme sans démonstration :
Soit $ p $ un nombre premier .
On a un isomorphisme :

Par suite, l'idéal est premier dans si et seulement si n'est pas un carré dans
Voici le seconde lemme sans démonstration :
Soit un nombre premir impair.
Alors est un carrée dans si et seulement si
Merci de votre aide !
-----

[invite769a1844]

Salut,
en fait on a seulement le sens direct, il y a plus d'irréductibles dans Z[i].

[invite52487760]

Ah d'accord !
Voiçi où on est maintenant "legeniedesalpages" :
http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?3,546230
Merci pour ta reponse !

[invite52487760]

Dans , il y'a par exemple : et comment éléments irréductibles !
On procède par absurde, et on utilisant la norme :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7cf0b55f]

si p est irréductible dans Z[i] alors p est congru soit à 0,2 ou 3 modulo 4
or p n'est pas congru à 0 ou à 2 modulo 4 car p est premier.
Sinon dans l'autre sens c'est évident vue les lemme.