Parties connexe par arcs

[invite5474ad2b]

Bonsoir,
exercice:Soit (E,||.||) un e.v.n sur R ou C de dimention >=2, et soit f dans E'\{0}
Démentrer que E\Ker(f) ne peut pas être connexe par arcs.
merci pour votre réponce.
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[taladris]

Salut,

Si E est un R-ev normé, tu peux montrer que E\Ker(f) n'est pas connexe en montrant par exemple qu'il peut s'écrire sous la forme d'une union de deux ouverts disjoints non vides.

Si E est un C-ev, il me semble que le résultat est faux: considère f de C² dans C définie par f(z,w)=w.
Dans ce cas, ker(f)={(z,w)/w=0} et donc E\ker(f)=CxC* qui est connexe par arc.

Cordialement