ensemble connexe par arcs

[invite5e819cf8]

salut tout le monde;
j'ai un exercice mais j'arrive pas à determiner la solution.
svp je veux quelques indications
l'énoncé est comme suivant:
démontrer que l'ensemble:
A={(s,t)appartient à R²/s appartient à Q ou t appartient à Q} est connexe par arcs.
merci d'avance
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

démontrer que l'ensemble:
A={(s,t)appartient à R²/s appartient à Q ou t appartient à Q} est connexe par arcs.

Si l'on prend et , pour trouver un chemin entre et il suffit de remarquer que

• la droite passant par et parallèle à l'axe des ordonnées est contenue dans ;
• la droite passant par et parallèle à l'axe des abscisses est aussi contenue dans ;

Si je note le point d'intersection de et de on voit qu'en parcourant le segment puis le segment (qui sont tous les deux dans ) on relie les deux points. Ensuite il est facile de donner une fonction continue de dans telle que et .

Pour répondre complètement à la question il faut faire la même chose pour les autres cas (relier et , etc)

[invite642cafc1]

Ou encore :
soit C la composante connexe de (0,0) dans A.
On montre successivement :
a) (Ox) est dans C
b) tout élément de la forme (r,x) est dans C (utiliser a)
b) (Oy) est dans C
d) tout élément de la forme (x,r) est dans C (utiliser c)
e) conclure que C=A et donc A est connexe par arcs.