bonjour,
toujours dans le cadre des polynomes j'ai un exo qui demande beaucoup de réflexion:
D´eterminer les polynomes P appartenant à R2n−1[X] tels que P(X) + 1 est multiple de (X − 1)^n et P(X) − 1 est multiple de
(X + 1)^n.
un grand merci d'avance.
Salut,
Un raisonnement par analyse-synthèse semble être tout a fait approprié ici !
Pour l'analyse, suppose qu'il existe un tel Polynome P de R2n-1[X] (tu peux écrire la tête qu'il a) et traduit les 2 conditions de divisibilité données dans lénoncé).
Tu aura alors la tete du seul candidat possible répondant aux exigences de l'énoncé.
Dans la synthèse, tu remontes les calculs i.e tu vérifies que le polynome trouvé dans l'analyse vérifie bien les propriétés (degré et divisibilité).
Bon courage,
« la sensation varie comme le logarithme de l'excitation ». loi de Weber-Fechner
merci beaucoup pour votre réponse immédiateEnvoyé par aNyFuTuRe-
mais je n'ai pas compris ce que vous voulez dire par cette phrase
merci.
je vous donne le lien de l'exo
http://michel.quercia.free.fr/polynome/polynome.pdf
c'est exo 4
en fait les indications de la réponse sont plus compliquées que la question elle même!!!!!!
Effectivement, la solution n'est pas un cadeau !
La première chose à faire, c'est écrire l'énoncé sous forme d'équations.
Qu'est-ce qu'on peut dire de P(x) + 1 ? et de P(x) - 1 ?
Ca fait 2 écritures de P(x).
Essaie de calculer les 2 expressions de P'(x), la dérivée de P(x) à partir de ces 2 relations. On voit des choses intéressantes apparaître qui permettent assez bien de calculer P'(x) compte tenu de son degré.
bonjour,
P(X)+1=Q(X)*(X-1)^n
tel que deg(Q)=n-1
mêm chose avec P(X)-1
j'ai dérivé ,pourtant je n'ai rien déduit!!!!
Ben, si, tu dois voir que dans P'(x) on peut mettre (x-1)^(n-1) en facteur et aussi (x+1)^(n-1) en facteur.
Quel est le degré de P'(x), son degré ? Tu dois pouvoir écrire P'(x) directement.
je ne sais pas..
je suis toujours perdue dans ce problème!!!
personne??
Cette égalité prouve que 1 est racine d'ordre n de P(X)+1, donc d'ordre n-1 de la dérivée de P(X) + 1, qui est P'(X).
On démontre de même que -1 est racine d'ordre n-1 de P'(X).
On connaît donc (n-1)+(n-1) racines de P'(X).
Comme P(X) est de degré au plus 2n-1, on dispose d'une condition sur le degré de P'(X).
Tout ceci permet de conclure.
merci beaucoup
