[Topologie] Adherence , point d'accumulation

[ichigo01]

Bonjour à tous ,

Dans un exercice on me demande de montrer que le voisinage d'un point d'accumulation de A contient une infinité de point de A.
A c R
Donc je procède par construire une suite x(n) infinie d'élément de A pour cela ,
je prend V voisinage de a donc : il existe un r tq: ]a-r(0) , a+r(0)[ c V puis
j'utilise la définition d'un point d'accumulation ( V inter A\{a} # l'ensemble vide ) ce qui est équivalent à dire qu'il existe un x(0) tq : x(0) # a et x(0) appartient à A inter V .
maintenant c'est clair : je fais la même démarche pour un r(1) = [d(a , r(0))]/2
ainsi on construit une suite x(n) de A , qq soit n appartenant à N :
x(n) c V et x(n) appartient à A .

Dans une 2 ème question on me demande de montrer que
l'adhérence de A = A' U A (A' : ensemble des points d'accumulation de A )
( je vais utiliser l'adhérence de A = ad(A) )
je ne sais pas si c'est juste mais ça me semble logique :
a appartient à ad(A) est équivalent à : A inter V # l'ensemble vide
équivalent à : il existe un x ; x appartient à A inter V et ( x # a ou x = a )
équivalent à : a appartient à A' ou A appartient à A . CQFD

Est ce que c'est juste ou existe-il une autre solution plus simple ?

(ps : j'ai sauter des étapes question de ne pas compliquer les choses car je ne sais pas utiliser le LATEX )

Merci d'avance
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[ichigo01]

Personne pour aider ?? !!

[ichigo01]

Personne pour aider ?? !!

Et ben oui

[Universus]

Ta première partie me semble correcte. Néanmoins, il est possible de le démontrer sans avoir recours à la notion de suite.

Tu as qui est un point d'accumulation de . Ainsi, par définition d'un point d'accumulation, on a que . Supposons que pour un certain il n'y ait dans le voisinage troué qu'un nombre fini d'éléments de qu'on note . On peut construire les différentes distances () telles que . Choisissons comme étant , qui est clairement un nombre positif. Ainsi, on a que , ce qui est en contradiction avec le fait que est un point d'accumulation de . Ainsi, l'hypothèse selon laquelle l'intersection d'un voisinage troué de avec ne contient qu'un nombre fini d'éléments est erronée.

Autrement, ta seconde partie me semble aussi correcte. ce qu'on peut en comprendre est vraiment que l'adhérence de A contient l'intérieur de A, les points d'accumulations de A (qui eux-mêmes contiennent l'intérieur de A), mais aussi les points isolés de A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

Tu as qui est un point d'accumulation de . Ainsi, par définition d'un point d'accumulation, on a que . Supposons que pour un certain il n'y ait dans le voisinage troué qu'un nombre fini d'éléments de qu'on note . On peut construire les différentes distances () telles que . Choisissons comme étant , qui est clairement un nombre positif. Ainsi, on a que , ce qui est en contradiction avec le fait que est un point d'accumulation de . Ainsi, l'hypothèse selon laquelle l'intersection d'un voisinage troué de avec ne contient qu'un nombre fini d'éléments est erronée.

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Merci encore une fois pour ton aide , pourtant c'est la dernière implication que je ne comprends pas ( j'ai pas trop réfléchis à la comprendre ) :

[ichigo01]

J'ai compris ! Merci

[Universus]

Tu as qui est un point d'accumulation de

Je voulais dire , l'ensemble des points d'accumulation de ( n'est pas nécessairement inclus dans ).

Sinon, même si tu as compris je le dis quand même, c'est qu'en prenant un voisinage de rayon autour de ( étant définie dans mon message précédent), d'après notre hypothèse nous considérons un voisinage qui ne comprend même pas le point le plus près de de notre voisinage précédent ; ce nouveau voisinage ne contiendrait donc pas aucun point de . Or, cela entre en contradiction avec l'idée que .