continuité uniforme et inégalité avec ln

[inviteb7283ac9]

Bonjour,
Je veux montrer que la fonction ln sur [1;+infini]
est unifomement continue
Pour cela j'aimerai (mais si vous avez une autre méthode je suis preneur)exprimer |ln(x)-ln(y)| en fonction de |x-y| afin d'appliquer la definition de la continuité uniforme avec epsilon et eta.
Plus precisement, je sais que eta >|x-y| et je veux |ln(x)-ln(y)|< epsilon. Si j'arrive à trouver une relation entre |ln(x)-ln(y)| et |x-y| je pourrai eprimer eta en fonction de epsilon et le tour sera joué.

Mais je n'y arrive pas : certe ln x<x et meme chose pour y, mais je n'arrive pas à en tirer qqchose d'interessant. Je sais aussi que( lnx -lny)/(x-y) est positif, et après ?

Merci de votre précieuse collaboration
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[invitec317278e]

une fonction lipschitzienne est uniformément continue.

[inviteb7283ac9]

Soit...mais ça revient exactement au meme, non ?
Mais j'crois que j'ai trouvé, il suffit d'appliquer le thm des accroissements finis. ln'(c)<1 donc ln(x)-ln(y)<x-y
Et...mince, je ne peux pas passer à la valeur absolue...
Bon alors montrons qu'elle est lipschitzienne

[invitec317278e]

lipschitzienne et uniformément continue, ça ne revient pas au même, non

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7283ac9]

lipschitzienne et uniformément continue, ça ne revient pas au même, non

oui, en effet, l'un implique l'autre seulement

[inviteb7283ac9]

edith : j'allais dire une betise

[inviteb7283ac9]

Voici ma réponse :
x,y appartiennent à [1;+infini]
supposons x<y
f étant continue sur [x;y] et dérivable sur ]x;y[, il existe c ds [x;y] tel que ln(x)-ln(y)=f'(c)(x-y) (TAF)
d'où |ln(x)-ln(y)|=|f'(c)(x-y)|
or c ds [x;y] donc c>ou égal à 1 d'où 0<f'(c)=1/c <ou égal à 1
d'où |ln(x)-ln(y)|=f'(c)|(x-y)|
d'où |ln(x)-ln(y)|<|(x-y)|
donc f lipschitzienne
donc f uniformement continue

correct ?