Démonstration de la dérivée de x^n

[invite28ad1393]

Je voudrais démontrer que la dérivée de est celle que l'on connait tous. J'utilise la définition de la dérivée et la formule binomiale:






J'arrive à faire apparaître le mais je reste avec qui devrait, si je n'ai pas fait d'erreurs, être égal à n (quand dx -> 0). Mais j'ai beau chercher dans tous les sens je n'arrive pas à continuer. J'espère que vous pourrez m'aider
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[invitef079b53b]

Bonjour, je note h ton dx.
En développant (x+h)^n-x^n avec le binôme de Newton, tu "casses" ta somme en 3 parties.
Tu sépares selon si k (indice de sommation) vaut n, n-1 ou k<n-2.
Si k=n, le terme de la somme se simplifie avec le -x^n, si k=n-1 cela apporte h*(x^(n-1))*(n-1 parmi n). Or (n-1 parmi n) vaut n. Et si h <n-2, tu peux factoriser par h². En divisant par h et en le faisant tendre vers 0, tu retrouves bien la dérivée de x->x^n.
Si tu as d'autres questions, n'hésites pas !
Erik

[invite28ad1393]

Merci Erik. J'avais pas pensais à démarrer en intervertissant les indices dans la formule du binôme.

Ben du coup tout est clair merci! Par contre à part les polynômes, c'est pas facile de démontrer les différentes dérivées.