démonstration de la dérivée de la fonction x puissance n

[invitea9351d88]

bonjour,
on a fait en cours la démonstration de la formule générale de la dérivé d'une fonction du type xⁿ ou n est un entier. On a mit des commentaires avec et donc je ne sais pas vraiment, si la prof nous la demende, se que je dois mettre.
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[invitec053041c]

1ere méthode: tu pars de la définition du nombre dérivé avec la limite, et tu magouille le numérateur pour qu'il se simplifie avec le dénominateur.

2eme méthode: un petit coup de récurrence, c'est vrai pour la dérivée 0-ième. tu supposes que (x^n)'= n.x^(n-1)
et tu regardes ce que celà fait au rang (n+1)

[invitec053041c]

excuse moi, l'initialisation se fait sur la dérivée de x^0 et non sur la dérivée 0-ième, au temps pour moi.

[invitea9351d88]

c'est quoi la différence entre les deux?
si je dois présenter et que le sujet c'est donner la démonstration de ...:

Soit x un réel et n un entier naturel (relatif?).

Supposons que (x^n)'= n.x^(n-1).

donc, (x^1)' = 1.x^0 = 1

puis je regarde se que ça fait au rang (n+1)

C'est bon? je ne vois pas comment je peux faire pour montrer que c'est vraie pour x^(1 ou 0?) si ej n'ai pas encore énoncé la propriété.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Ah, si tu es en première je doute que tu aies fait le raisonnement par récurrence...

je te montre une piste pour la façon de le montrer avec les limites.

(x^n)'(x0)= lim (f(x)-f(x0)/(x-x0)) lorsque x tend vers x0.
= lim ((x^n-x0^n)/(x-x0)) " " "
ce que tu veux, c'est simplifier cette fraction pour ne plus avoir de (x-x0) au dénominateur (division par 0 sinon).
donc je te donne l'identité remarquable qui fait tout:
a^n-b^n= (a-b)(a + a^(n-1)*b + ... + b^(n-1)*a + b)
pour etre concret, par exemple a^3-b^3= (a-b)* (a²+ab+b²)

ici que vaut a, que vaut b?

[invitec053041c]

Pour le raisonnement par récurrence, tu supposes que la propriété est vraie qu rang n
soit (x^n)'=n*x^(n-1)

tu veux savoir si au rang (n+1) on aura (x^(n+1))'= (n+1).x^n ?
or, x^(n+1)= x^n * x ... tu dérives cette expression en utilisant l'hypothese de récurrence...et tu vas retomber sur tes pattes.