Continuité uniforme

inviteb7283ac9 · 05/04/2009, 12h07

Bonjour,
J'aurais voulu savoir si pour montrer qu'une fonction est uniformément continue ou non sur un intervalle, je pouvais appliqué cette méthode :

Par exemple : On s'intéresse à x² sur R

Rappelons la définition de la continuité uniforme :
f continue uniformément sur I si pour tout $\text{[math]}$ >0, Il existe $\text{[math]}$ >0 tq pour tout x et tout y dans I, |x-y|< $\text{[math]}$ implique |f(x)-f(y)|< $\text{[math]}$

On calcul |f(x+ $\text{[math]}$ )-f(x)|
ici on trouve : | $\text{[math]}$ -2x $\text{[math]}$ |
on regarde la limite qd x tend vers les bornes de I, on s'aperçoit que ça fait l'infini ici. On conclu que x² n'est pas uniformément continue sur R.
(et si on tombe sur une limite finie, la fonction est uniformement continue?)
Merci de votre collaboration

**leon1789** · 06/04/2009, 18h55

Etudier |f(x+ $\text{[math]}$ )-f(x)| n'est pas suffisant : imagine que la fonction f soit $\text{[math]}$ -périodique .... tu prouverais qu'elle est uniformément continue (sans supposer qu'elle est continue !)

**leon1789** · 06/04/2009, 18h58

Envoyé par vince3001

On calcule |f(x+ $\text{[math]}$ )-f(x)|
ici on trouve : | $\text{[math]}$ -2x $\text{[math]}$ |
on regarde la limite qd x tend vers les bornes de I, on s'aperçoit que ça fait l'infini ici. On conclu que x² n'est pas uniformément continue sur R.

Hummmm.... Dans ton raisonnement, x est fixé avant ou après $\text{[math]}$ ?

Continuité uniforme