demonstration algebre linéaire

[invite224e6e5f]

je voudrais demontrer les deux équivalences :

Soit b une famille non vide d'éléments de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1) b est une base de E
2) tout élément de E s'écrit d'une manière UNIQUE comme combinaison linéaire d'éléments de b.

soit b = (e₁,e₂,...,e_s)

j'ai commencé à dire que b est une base de E, donc, tout élément x de E s'écrit sous la forme :

x = l₁e₁ + l₂e₂ + ... + l_se_s

et

x = m₁e₁ + m₂e₂ + ... + m_se_s

où les l_i appartiennent à K et les m_i appartiennent à K

je ne sais pas comment faire pour prouver que les deux combinaisons linéaires sont égales.

Je pense que la réciproque doit se démontrer en disant que b est une famille libre ET est une famille génératrice (trivial)

je vous remercie pour vos réponses
-----

[sylvainc2]

Écris:
l1e1+l2e2+...+l_s e_s = m1e1+m2e2+...m_s e_s --->
(l1-m1)e1 + (l2-m2)e2 + ... +(l_s-m_s)e_s = 0

Mais si e1,e2,..e_s sont une base alors...