bonjour,
je cherche à savoir si il existe une réciproque du théorème suivant :
soitet de période
la réciproque serait : soit une suite complexe
f(x) définie par :
ce théorème serait bien utile pour l'analyse de filtres discrets à réponse impulsionnelle infinie
merci d'avance !
j'en suis là :
soit une suite complexe
si
alors
on a alors en posant
en posant G(x) primitive de g(x), on trouve que G(x) et f(x) sont continues et ont les mêmes coefficients de fourier et sont donc égales, donc finalement que f'(x) = g(x) et que f est C1
Re : série de fourier, réciproque de C1 => l1
Salut !
sauf que cette réciproque est fausse...
déja on peut obtenir un meilleur théorème au départ :
si f est continu et C1 par morcaux, alors ces coefs de fourier sont L1
la seul réciproque raisonable est "coef L1 => f Continu"
pour te convaincre qu'on obtiendra pas mieux medite un peu le fammeux "contre exemple de Weierstrass" :
la fonction f(x) = somme de n=1 à l'infinie de sin(3^n*x)/2^n
as une série de fourier qui est clairement L1 et c'est un superbe exemple de fonction continu qui est nul part dérivable, et même bien pire que ca : ses taux d'acroissements sont tous localement non bornés etc etc... bref... on à vraiment aucune régularité en dehors de la continuité...
salut,
merci pour ce contre exemple ! effectivement c'est une fonction bien pathologique
par contre mon "théorème" (msg #2) reste ok non ?
je cherche à affaiblir un peu les condifitions de ce théorème (je sais que ça doit déja être détaillé sur le net mais ça m'amuse de cherche moi même et je n'ai pas trouvé de cours assez détaillé sur ce point : considérer les coefficients pour en déduire des propriétés de f(x) chose courrante en traitement du signal )
