Bonjour, j´ai un exo sur les espaces projectifs dont j´ai déjà les corrigés, mais je voudrais essayer une autre méthode dont je me demande si ma conclusion est juste. Il s´agit de la chose suivante:

Question 1: Donner les conditions nécessaires et suffisantes en coordonnées homogènes pour que n+1 points de l´espace projectif Pn(K) = P(Kn+1) soient inclus dans un hyperplan projectif.
Bon ça c´est facile: à n+1 points de Pn(K) de coordonnées homogènes respectives (ci0: ... :cin) je fais correspondre n+1 vecteurs directeurs des droites vectorielles, de coordonnés respectives (ci0: ... :cin). Il faut alors que ces n+1 vecteurs soient dans un hyperplan vectoriel de Kn+1, c´est-à-dire que la matrice

(v0, .... , vn) ait un déterminant nul

C´est la question 2 qui m´intéresse:
Donner les conditions nécessaires et suffisantes pour que n+1 hyperplans de Pn(K) soient concourants.
Dans le corrigé, ils raisonnent en termes d´équations des forme linéaires, mais moi ce qui m´intéresserait serait de transférer le problème dans l´espace projectif dual P(E*), E étant évidement Kn+1. Ça parait peut-être une complication superflue, mais ça pourait avoir une certaine élégance. En d´autres termes j´aimerais prouver la chose suivante:

n+1 hyperplans de Pn(K) sont concourants si et seulement si les n+1 points de P(E*) correspondants sont dans un hyperplan de P(E*). Ensuite il suffit d´utiliser résultat de la première question. Mais je cafouille. J´ai commencé comme ça:

n+1 hyperplans de Pn(K) sont concourants, ssi leur intersection n´est pas vide i.e. est au moins un point, donc ssi les n+1 hyperplans de E = Kn+1 ont une intersection qui est au moins une droite, donc de dimension >= 1. Il existe donc une droite vectorielle D de E telle que pour Hi des n+1 plans vectoriels en question, D est dans Hi.
En traduisant en dual - et c´est là que je doute de mon truc - on peut alors dire que dans E*, chacun des Hi* est inclus dans D*, qui est de dimension n, c´est-à-dire un hyperplan de E*. Peut-on dire ça? J´ai pas trop l´habitude de manipuler les duals, donc...
Si cette méthode était bonne, il me suffirait de donc chercher les CNS pour que les duals (duaux?) Hi* soient dans und hyperplan de E*, retraduit en projectif, cela voudrait dire que les n+1 points P(Hi*) sont dans un hyperplan de P(E*), et là on retombe sur la question 1.

Il me semble aussi (cafouillage dans mes calculs) que si on se donne une base de E et que Li, de la forme Li(x) = a0.x0 + ... + an.xn est une des formes linéaires correspondant à l´hyperplan Hi, alors (a0,...an) est un vecteur de Li*, donc que (a0:...:an) est un système de coordonnées homogènes de P(E*). Mais là aussi je suis très peu sûr de moi. Comment le prouver?

Merci d´avance pour vos suggestions.

Christophe