exercice de géométrie projective

[invitee75a2d43]

Bonjour, j´ai un exo de géométrie projective qui me désempare au plus haut point! Le pire, c´est que j´ai la solution mais que je ne la comprend pas. Il s´agit de la chose suivante:

énoncé:

Dans un plan projectif réel, on considère 3 points non alignés A, B et C.
Combien les points A, B, C définissent-ils de triangles dans P₂(IR)?

La réponse me désempare encore plus que la question:

Une droite dans P₂(IR) est un espace projectif P₁(IR) et est donc un cercle (). Maintenant, deux points sur un cercle définissent non pas un mais DEUX segments(). Donc chaque couple de points sur une droite dans P₂(IR) définit DEUX segments. Les 3 points définissent donc non pas un mais QUATRE triangles().

Je ne vois pas comment une droite peut être un cercle, même en projectif. Pour moi un cercle est défini comme l´ensemble des points du plan à égale distance d´un centre. Ils ont l´air de vouloir dire qu´une droite projective est quelquechose de fermé, dans mes définitions, je n´ai rien lu de la sorte. Comment faut-il s´imaginer la chose?

Merci d´avance de vos suggestions

Christophe
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[invite986312212]

regarde combien de triangles définissent 3 grands cercles sur la sphère (et pense à diviser par deux).

[invite00fc3204]

La réponse précédente est bonne, mais tu n'es pas assez aidé à voir tes réflexions. Une droite projective possède un point à l'infini comme si elle était un cercle se refermant à l'infini. Deux droites se coupent donc comme deux cercles, avec un point fini et l'autre à l'infini.

Appelons AB z z', BC xx' , AC yy'.

Cx' et Cy' se coupent en C ET C' (à l'infini). D'où le triangle ABC'.

Il y a aussi A'BC, AB'C, plus ABC donc 4.

[invite57a1e779]

Deux droites se coupent donc comme deux cercles, avec un point fini et l'autre à l'infini.

Deux droites projectives ont un unique point d'intersection.

[A voir en vidéo sur Futura]