Convergence d'une suite contractante

[ichigo01]

Bonjour à tous ,

Je suis bloqué sur un exercice qui me demande de montrer qu'une suite contractante est une suite convergente .

Une suite contractante est la suivante : tels que :

Ce que je sais c'est qu'il faut montrer que est une suite de Cauchy

Je commence par faire le produit des inégalitées suivantes :


.
.
.
.
(1)

Et j'obtiens :

mais je ne sais pas si ça va m'aider à grand chose , pourtant pour montrer que c'est une suite de Cauchy il faut trouver que :

Alors , j'ai comme idée qu'il faut trouver une égalité pour sous une forme de somme pour ensuite faire l'inégalitée triangulaire et pouvoir remplacer par ce que j'ai trouvé dans (1) .

Merci d'avance pour votre aide !
-----

[mimo13]

Bonsoir

Il s'agit effectivement d'utiliser le critère de Cauchy et la définition de la limite.

Et j'obtiens :

En écrivant ceci, tu viens de montrer que la suite tend vers (N.B )
En d'autres mots:


Soit un entier
On a donc
(*)
(on prendra pour l'élégance de la démonstration )

Cauchy dit que toutes suite convergente ssi elle vérifie la condition suivante:


Soit

On a

Donc
Par l'inégalité triangulaire:


Par (*) :



Il suffit alors de réitéré la même opération p fois pour finalement trouver:



D'où la suite est convergente.

Cordialement.

[MMu]

Attention , je ne suis pas d'accord avec la démarche de mimo13 . D'après lui si alors converge !
Il suffit de prendre le contre-exemple pour voir que c'est faux .
Revenons à la suite contractante . ichigo01 est arrivé à pour tout , où . On écrit :

Comme on a , et on montre facilement que est de Cauchy donc convergente.

[mimo13]

Désolé MMu mais ton raisonnement et le mien concorde parfaitement c'est la même idée, moi j'ai remplacé le par 0 pour chaque différence de terme des le début tandis que toi tu l'as laissé jusqu'à la fin, de plus je n'ai pas dit que si alors converge non !
J'ai utilisé le fait que si

converge sachant que est contractante alors la suite est convergente.
C'est exactement ce que tu as fait

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Désolé mimo13, mais ton raisonnement est effectivement faux.

-dans ton raisonnement, une fois qu'on a prouvé que tend vers 0, on n'utilise absolument plus le fait que est contractante. Donc, comme mentionné par MMu, il ne peut être que faux puisque ca voudrait dire que toute suite vérifiant tend vers 0 tend vers 0.

-plus précisément, la rédaction est fausse car tu fixes ton p avant de fixer ton epsilon, alors que que on doit d'abord fixer epsilon, ensuite, trouver le et finalement, fixer le p et le n. Cela rend ton raisonnement faux car ton dépend de ton p !!

Le raisonnement de MMu peut te sembler identique au tien, mais ce n'est pourtant pas le cas, et le sien est la manière classique de le faire.

[ichigo01]

En écrivant ceci, tu viens de montrer que la suite tend vers (N.B )

Je trouve que c'est faux ( et comme tout ton raisonnement se pose sur ça il sera faux aussi

[ichigo01]

Attention , je ne suis pas d'accord avec la démarche de mimo13 . D'après lui si alors converge !
Il suffit de prendre le contre-exemple pour voir que c'est faux .
Revenons à la suite contractante . ichigo01 est arrivé à pour tout , où . On écrit :

Comme on a , et on montre facilement que est de Cauchy donc convergente.

Je suis tout à fait d'accord avec toi , et c'est ce que je cherchais
Et si j'ai bien compris c'est que le terme car donc
maintenant je vais refaire la demonstration et faire la solution exacte ( plutôt l'organiser )
Merci à tous, pour votre aide !

[ichigo01]

Attention , je ne suis pas d'accord avec la démarche de mimo13 . D'après lui si alors converge !
Il suffit de prendre le contre-exemple pour voir que c'est faux .
Revenons à la suite contractante . ichigo01 est arrivé à pour tout , où . On écrit :

Comme on a , et on montre facilement que est de Cauchy donc convergente.

Seulement pour que l'idée soit clair pour moi , on l'a conclut après ce que j'avais trouvé au début c'est ça ? et une autre chose , comme ta factoriser avec je comprend que ça viens du faite que et ainsi pour n+p-2, n+p-3 ..... ce que je comprends pas c'est qu'on avait trouvé alors où ils sont parti les ( je dis pas que ce que t'a écrit est faut , juste que j'ai pas encore tout compris ) . Merci

[Thorin]

Je trouve que c'est faux ( et comme tout ton raisonnement se pose sur ça il sera faux aussi

Raté, ça, c'était juste !

[ichigo01]

Raté, ça, c'était juste !

Comment ??