Probas et espérance

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà je bloque sur un petit exercice de remise en jambe sur les probas et je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes. Voici l'énoncé :

On dispose d'une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité et "face" avec la probabilité (avec . On lance cette pièce, les lancers étant indépendants les uns des autres, et on note le nombre aléatoire de lancers nécessaires à la première apparition de "pile".

Quand "pile" apparaît au bout de lancers, on effectue une série de lancers avec cette même pièce et on note le nombre de "pile" obtenus au cours de cette série.

Question 1 :

Quelle est la loi de ?

=> et suit une loi géométrique de paramètre

Question 2 :

(a) Pour , déterminer la loi conditionnelle de sachant . Préciser l'espérance conditionnelle

=> La loi conditionnelle de sachant suit une loi de Bernoulli de paramètres et donc

(b) En déduire que admet une espérance et déterminer

=> {} est un système complet. Mais là je suis bloqué, je n'arrive pas à travailler avec les espérances.

De plus, je ne vois pas comment justifier que admet une espérance. En résumé, je sais que je m'y prends mal pour cette question mais je ne vois pas où =S

Question 3 :

(a) Calculer et

=>


(b) Pour tout entier naturel non nul, déterminer . L'énoncé rappelle la formule du binôme négatif.

=>

(c) Retrouver, par un calcul direct, l'espérance de . Pourquoi ce résultat est-il raisonnable ?

=>

Ce résultat me paraît un peu compliqué sachant que l'on est censés retrouver le résultat de la question 2)b). De plus, je ne vois pas vraiment en quoi ce résultat est "raisonnable" =S


Voilà, je vous serais donc très reconnaissant de me donner quelques pistes (notamment pour la question 2)b) et de me signaler les fautes que j'ai probablement faites dans la question 3 (le résultat final me paraît bizarre).

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans ton dernier calcul, tu peux arranger le dénominateur



et simplifier ton calcul.

[inviteb64a2f8e]

Tout d'abord merci beaucoup de me répondre !

Votre remarque me rassure, j'ai donc un résultat beaucoup plus simple, à savoir . Et donc la question de savoir pourquoi ce résultat est raisonnable me parle beaucoup plus.

Cependant, auriez-vous une piste ou un conseil de méthode pour m'aider sur la question 2)b), à savoir le calcul de l'espérance de avec l'espérance conditionnelle s'il-vous-plaît ?

Merci beaucoup !

[invite57a1e779]

Puisque est un système complet, n'aurait-on pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Ah oui ! Je suis bête, j'y ai pensé mais je me suis dit qu'on ne pouvait pas écrire qu'une espérance était la somme du produit d'une espérance par une probabilité. Je me suis embrouillé tout seul puisqu'en fait on a :

et donc il suffit de multiplier par pour avoir l'égalité que vous avez écrite.

Mais une dernière petite chose : je ne comprends pas ce qu'on attend du candidat quand on pose la question "En déduire que admet une espérance".
Il ne suffit pas de dire que sachant admet une espérance et que forment un système complet ?

Merci beaucoup !

[invite57a1e779]

je ne comprends pas ce qu'on attend du candidat quand on pose la question "En déduire que admet une espérance".

Pour conclure que admet une espérance, il faut prouver que la série converge.

[inviteb64a2f8e]

Ah oui d'accord !

Merci beaucoup !