Exercice de divisibilité

[invitea8d86863]

Bonjour, voila j'ai un petit problème avec un exercice de Spé Math.
Voici la consigne :

Démontrez que 7 divise a²+b² si et seulement si 7 divise a et 7 divise b.

Je ne vois vraiment pas par où commencez le raisonnement.

Merci d'avance.
-----

[invite57a1e779]

Tu peux par exemple étudier les différents cas de congruence modulo 7 pour a et b.

[invitea8d86863]

Je n'avais pas pensé a utiliser la congruence.
Je vais essayer d'en faire quelque chose.
Merci pour la piste de recherche.

[invitea8d86863]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par " les differents cas de.."

J'avais pensé partir de : Si 7 divise a et b, alors on peut dire que a est congru à b modulo 7, mais je me suis rapidement rendu compte que je ne savais même pas ce que je faisais.

Je suis perdu..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Modulo 7, a est congru à 0, 1, 2, 3, 4, 5, ou 6.
Donc est congru à 0, 1, 4, 9, 16, 25, ou 36, ce qui se résume en fait à : est congru à 0, 1, 2, ou 4.
De même pour . Il te reste à voir à quoi peut bien être congru , et étudier la divisibilité par 7.

[invitea8d86863]

Je pense avoir résolu le problème à l'aide d'un tableau.
Merci beaucoup pour l'aide proposée.
Bonne soirée

[invite57a1e779]

Je pense avoir résolu le problème à l'aide d'un tableau.

Excellente idée que de faire un tableau.

[inviteb3540c06]

si alors

si alors


( propriété des congruences ! )

on en déduit que

( toujours propriété des congruences )

Donc ssi 7/a et 7/b


alors les tableaux et compagnie .... est-ce vraiment nécessaire ?

[bubulle_01]

Tu viens de démontrer une implication, et non l'équivalence ...

[bubulle_01]

Et en toute objectivité, toi retourner découvrir l'apprentissage d'une démonstration en mathématiques.

[inviteb3540c06]

Il manque donc la réciproque! .. 7 divise a²+b² => 7 divise a et b

Avec les congruences .....

Les carrés modulo 7 sont: 0 , 1 , 2 et 4 car

0² 0 [7]
1² 1 [7]
2² 4 [7]
3² 2 [7]
4²2 [7]
5² 4 [7]
6²1 [7]

Donc (-1) 6 [7] n'est pas un carré modulo 7.

D'où:
a²+b²0 [7] => a² -b² [7] => a 0 [7] et b 0 [7]