Equation différentielle

[invite9eb6db85]

Soit x^ky'=y

1)Montrer que les solutions définies sur ]-inf,0[ sont de la forme:

y(x)=C₁ exp ((x^1-k)/(1-k)) si x<0

et définies sur ]0,+inf[ de la forme

y(x)=C₂ exp ((x^1-k)/(1-k)) si x >0

C₁ et C₂ constantes

2)Montrer que si k>1 il n'existe pas de fonction sur R qui vérifie x^ky'=y en tout point x appartenant à R.

3) Montrer que si k<1 alors: y(x)=C exp ((x^1-k)/(1-k)) verifie x^ky'=y en tout point x appartenant à R.

4) Montrer que si k est impaire avec k>1 alors :

y(x)=C₁ exp ((x^1-k)/(1-k)) si x<0

0 si x=0

y(x)=C₂ exp ((x^1-k)/(1-k)) si x >0

vérifient en tout point x appartenant a R: x^ky'=y

Quelqu'un pourrait il m'aider à résoudre ces quatres dernière question... Merci !!
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[invite9eb6db85]

Quelqu'un a une idée?

[invite0fa82544]

Je devine que l'on suppose x réel.
Dans cette hypothèse, il faudrait savoir dans quel intervalle peut se trouver k ; par exemple, si k=1/2, l'équation elle-même n'est définie que sur les réels positifs, et alors certaines des questions posées n'ont pas de sens ?

[invite9eb6db85]

k appartiens à Z et est différent de 1...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fa82544]

k appartiens à Z et est différent de 1...

2) Si k>1, la solution n'est pas définie en x=0 : il n'existe donc pas de solution définie sur tout
3) Si k<1, pas de problème en pour la solution générale.
4) Si k est impair (pas de "e"), et sont de même signe si x>0, de signe contraire si x<0. Il a bien deux solutions de la forme générale avec deux constantes et différentes. La fonction est visiblement continue en x=0 et on peut compléter sa définition en posant la valeur f(0) égale à la limite commune à gauche et à droite.
Il n'y a pas de solution sur tout pour k pair supérieur à 1 puisqu'alors et sont de même signe sur tout .