Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il brièvement m'expliquer la signification d'un générateur d'un processus markovien.
Dans mon cours, on nous explique comment le trouver, mais on omet de lui donner sa signification.
De plus on parle de générateur Q irréductible. (cela signifie-f-il que Q est inversible?)
Merci
Un processus markovien est caractérisé par le fait que les probabilités à N temps ne dépendent que du dernier temps. De ce fait, il est entièrement caractérisé par la distribution à un tempset par une probabilité de transition
.
Un générateur de processus markovien est donc une prescription donnant ces deux probabilités.
Comment définissez-vous l'irréductibilité ?
Comment définissez-vous l'inversibilité ?
Ok, mais les éléments diagonaux d'un générateur sont négatifs...
(Comment expliquez vous cela vis à vis des proba de transition?)
En fait, on nous a défini l'irréductibilité dans le cas d'une chaine de Markov (i.e chaine ne comportant qu'une seule classe).
Ensuite on utilise à nouveau ce terme dans les processus markoviens, mais je ne vois pas comment le "généraliser" avec le générateur.
Je ne comprends pas ce que vous appelez, vous, un "générateur". Donnez-moi un exemple, merci.
Bonjour,
si j'ai bien compris : la matrice dont tu parles n'est pas un noyau de transition (générateur) mais une Q-matrice.
A mon avis, tu travailles dans le cadre de processus markoviens de saut (temps continu, espace discret). L'élément en position (i,j) représente l'intensité du temps de saut de i vers j.
Pour être plus précis, il faudrait que tu sois toi-même plus précis. Temps continu ou temps discret ? Espace d'états continu ou discret ? Hypothèse sur le processus ?
EDIT : (il me semble que) dans le cas homogène, les éléments hors diagonaux de la Q-matrice sont la dérivée en 0 des éléments du noyau.
Peut-être que le problème n'est en fait qu'une question de vocabulaire...
On parle bien d'un processus markoviens indicé en temps continu et d'états discrets.
Cependant je ne regarde pas spécialement la chaine des sauts.
je crois que je parle bien de ce que tu appelles Q-matrice :
i e: la somme des éléments d'une ligne doit être nul.
(Je ne peux pas etre beaucoup plus précis au sujet de celle qui, car c'est la seule caractéristique qui nous a été donnée)
Cependant les indices lignes colonnes correspondent bien aux états du processus.
Ma question était ce que représente cette matrice.
Tu saurais m'aider?
Merci
Bonsoir,
on parle de la même chose.
Si, l'élément
représente l'intensité du temps de saut de
vers
.
Dans le cas général (homogène), les coefficients hors-diagonaux s'interprètent comme une dérivée, mais cela ne doit pas t'aider à voir ce que ça représente...
... alors, prenons le cas où les temps inter-sauts sont indépendants et de loi exponentielle. Le processusconsidéré ressemble à un processus de Poisson amélioré.
Quel intérêt à faire cela ?
Et bien, siet
sont indépendantes de loi exponentielle de paramètres respectifs
et
alors la variable aléatoire
suit une loi exponentielle de paramètre
.
Bref, soitun instant (de saut) tel que
. Que va-t-il se passer ensuite ?
Et bien, on va sauter versavec l'intensité
. Supposons que l'espace d'états est de taille
, alors soient
v.a.
(
) telles que :
L'instantest défini par :
qui suit une loi exponentielle de paramètre
.
Finalement, dans la ligne
Romain
Oki
L'histoire de la dérivée et de l'intensité figure effectivement dans mon cours, mais à présent leurs significations sont un peu plus claires!
Je te remercie de ton aide!
salut, Romain-des-bois a raison: c'est en quelque-sorte une extension de la notion de processus de Poisson, et je pense que tu aurais une meilleure compréhension de cette notion d'intensité si tu étudiais le processus de Poisson classique, notamment la formulation différentielle. pour étudier tout seul, il y a un petit livre abordable: Cox & Isham "Point Processes", et un livre plus complet et plus théorique: O Kallenberg "Random Measures" (ce dernier si tu es courageux, parce qu'il est difficile).
Bonsoir Ambrosio,
Cox... David Cox, celui qui a introduit le fameux modèle ?pour étudier tout seul, il y a un petit livre abordable: Cox & Isham "Point Processes"
c'est bien le même. Il a aussi coécrit avec David Hinkley un cours de stats remarquable : "theoretical statistics" (chez Chapman).
Merci Ambrosio pour ces précisions
