Equation différentielle non linéaire

invite9111fdef · 12/11/2009, 18h07

Bonjour à tous,

Dans le cadre de mes recherches (sur les mirages gravitationnelles), je tombe sur une équation différentielle non linéaire que je n'arrive pas à résoudre analytiquement:
$y' = -\frac{\varphi_1}{x+\sqrt{x^2+ \varphi_2 \ y}}$
avec les constantes $\varphi_1>0$ et $\varphi_2 >0$ .

Je l'ai déjà résolue numériquement et le résultat est bien celui attendu. Mon promoteur a suivi une autre direction pour étudier la problématique (une autre approche qui ne le fait pas passer par cette équation) et obtient une expression analytique pour $y(x)$ . Il doit donc être possible de trouver une solution analytique pour cette équation.

Je vous remercie déjà pour l'aide que vous m'apporterez.

invite9111fdef · 13/11/2009, 15h11

Je me permet de faire un double post pour relancer le sujet.
Merci

invite57a1e779 · 13/11/2009, 21h30

Ton équation différentielle $y' = -\frac{\varphi_1}{x+\sqrt{x^2+ \varphi_2 \ y}}$ se manipule ainsi :

$y'x+y'\sqrt{x^2+ \varphi_2 y} = -\varphi_1$

$y'x+\varphi_1 = -y'\sqrt{x^2+ \varphi_2 y}$

$(y'x+\varphi_1)^2 = y'^2(x^2+ \varphi_2 y)$

$2y'x\varphi_1 +\varphi_1^2 = yy'^2\varphi_2$

$y = \frac{2x\varphi_1}{y'\varphi_2} + \frac{\varphi_1^2}{y'^2\varphi_2}$

Sous cette dernière forme, on reconnaît une équation de Lagrange (voir cette page).

Il y a tout d'abord les solutions singulières, de la forme $y=ax+b$ . On reporte dans l'équation, et on obtient que de telles solutions doivent satisfaire à :
$a = \frac{2\varphi_1}{a\varphi_2}$ et $b = \frac{\varphi_1^2}{a^2\varphi_2}$ , soit $a = \pm \sqrt{\frac{2\varphi_1}{ \varphi_2}}$ et $b= \frac{\varphi_1}{2}$ .

Pour obtenir les solutions singulières, on pose $p = y'$ , d'où :
$y = \frac{2x\varphi_1}{p\varphi_2} + \frac{\varphi_1^2}{p^2\varphi_2} \ (*)$
et, en dérivant par rapport à $x$ :
$p = y' = \frac{2\varphi_1}{p\varphi_2} - \frac{2x\varphi_1 }{p^2\varphi_2}\frac{dp}{dx} - \frac{2\varphi_1^2}{p^3\varphi_2}\frac{dp}{dx}$
ou encore
$\left( p - \frac{2\varphi_1}{p\varphi_2} \right) \frac{dx}{dp} = - \frac{2x\varphi_1 }{p^2\varphi_2} - \frac{2\varphi_1^2}{p^3\varphi_2}$
qui est une équation linéaire de la fonction $x(p)$ .

Après résolution de cette équation linéaire, on reporte la valeur obtenue pour $x(p)$ dans la relation (*) pour obtenir $y(p)$ . On a ainsi les solutions sous forme paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x = x(p) \\ y =y(p) \end{array} \right.$ .

invite9111fdef · 13/11/2009, 21h33

Merci beaucoup pour ta réponse. Je vais regarder tout ça et reviendrait te dire si j'ai tout suivi

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite9111fdef · 14/11/2009, 19h23

Bonsoir God'sBreath. Merci pour ta réponse. J'ai refait les calculs et j'ai lu la page wiki que tu références. Je comprends dorénavans bien la démarche.
Lors de la résolution de l'équation différentielle linéaire d'ordre un, je suis amené à calculer la primitive suivante:
$\int\frac{1}{p^2-w}\ \frac{1}{p \sqrt{p+w}}\ dp$
avec la constante $w=\frac{2 \varphi_1}{\varphi_2}$

Le début de la résolution m'embarque dans quelque chose de monstrueux

composé de Arctanh et de ln, en veux-tu en voilà...

Pourrais-tu me donner un autre coup de pouce ? (ou quelqu'un d'autre bien entendu)

Je vous remercie d'avance !!

invite57a1e779 · 14/11/2009, 19h59

Envoyé par Klosferatu

Mon promoteur a suivi une autre direction pour étudier la problématique (une autre approche qui ne le fait pas passer par cette équation) et obtient une expression analytique pour $y(x)$ .

Qu'obtient-il comme expression de $y(x)$ ?

Parce qu'effectivement, même en posant $\omega = \frac{2\varphi_1}{\varphi_2}$ et $p = q\sqrt{\omega}$ , on soulage légèrement les calculs, mais cela reste très lourd, et je n'imagine pas quelque chose de simple après résolution de l'équation de Lagrange.

invite9111fdef · 14/11/2009, 20h02

Envoyé par God's Breath

Qu'obtient-il comme expression de $y(x)$ ?

Il n'a pas voulu me le dire. Il préfère que nous fassions nos calculs de façon indépendante, pour ne pas s'auto influencer, au cas où l'un d'entre nous se planterait...

Envoyé par God's Breath

Parce qu'effectivement, même en posant $\omega = \frac{2\varphi_1}{\varphi_2}$ et $p = q\sqrt{\omega}$ , on soulage légèrement les calculs, mais cela reste très lourd, et je n'imagine pas quelque chose de simple après résolution de l'équation de Lagrange.

Du très lourd en effet

Tu as une idée pour l'intégrale?

invite57a1e779 · 14/11/2009, 20h13

On fait le changement de variable $u = \sqrt{p + \omega}$ , d'où $p = u^2 - \omega$ et $dp = 2u\,du$ ; par suite :

$\int\frac{1}{p^2-\omega}\ \frac{1}{p \sqrt{p+\omega}}\ dp = \int\frac{1}{(u^2 - \omega)^2 - \omega}\ \frac{1}{(u^2-\omega)u}\ 2u\,du = 2\int\frac{1}{u^4 - 2u^2\omega + \omega^2 - \omega}\ \frac{1}{u^2-\omega}\ du$

On n'a plus qu'à intégrer la fraction rationnelle, mais la réduction en éléments simples n'est pas des plus attrayantes.

Par ailleurs, je ne comprends pas bien comment on peut arriver à avoir le facteur $\sqrt{p + \omega}$ .

invite9111fdef · 14/11/2009, 20h28

Merci pour ta réponse.

Dans l'intégrale de base?

La résolution de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 s'effectue par la variation des constantes. Dans mon cas, c'est une équation différentielle à second membre. Donc, j'utilise la formule suivante:
$f = \exp\left( -\int\frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx \right) \left\{ C + \int \frac{c(x)}{a(x)} \exp\left(\int \frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx\right)\mathrm dx \right\}$

C'est le terme $\int \frac{c(x)}{a(x)}\exp\left( \int \frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx\right)\mathrm dx$ qui donne l'intégrale demandée dans mon message précédent. Et le terme en $\sqrt{p+w}$ provient de $\exp\left(\int \frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx\right)\mathrm dx $ sous la forme $\frac{p}{\sqrt{p+w}}$ .

Je ne sais pas si j'ai été assez clair...

Equation différentielle non linéaire