Equation différentielle non linéaire

[invite9111fdef]

Bonjour à tous,

Dans le cadre de mes recherches (sur les mirages gravitationnelles), je tombe sur une équation différentielle non linéaire que je n'arrive pas à résoudre analytiquement:

avec les constantes et .

Je l'ai déjà résolue numériquement et le résultat est bien celui attendu. Mon promoteur a suivi une autre direction pour étudier la problématique (une autre approche qui ne le fait pas passer par cette équation) et obtient une expression analytique pour . Il doit donc être possible de trouver une solution analytique pour cette équation.

Je vous remercie déjà pour l'aide que vous m'apporterez.
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[invite9111fdef]

Je me permet de faire un double post pour relancer le sujet.
Merci

[invite57a1e779]

Ton équation différentielle se manipule ainsi :











Sous cette dernière forme, on reconnaît une équation de Lagrange (voir cette page).

Il y a tout d'abord les solutions singulières, de la forme . On reporte dans l'équation, et on obtient que de telles solutions doivent satisfaire à :
et , soit et .

Pour obtenir les solutions singulières, on pose , d'où :

et, en dérivant par rapport à :

ou encore

qui est une équation linéaire de la fonction .

Après résolution de cette équation linéaire, on reporte la valeur obtenue pour dans la relation (*) pour obtenir . On a ainsi les solutions sous forme paramétrique .

[invite9111fdef]

Merci beaucoup pour ta réponse. Je vais regarder tout ça et reviendrait te dire si j'ai tout suivi

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9111fdef]

Bonsoir God'sBreath. Merci pour ta réponse. J'ai refait les calculs et j'ai lu la page wiki que tu références. Je comprends dorénavans bien la démarche.
Lors de la résolution de l'équation différentielle linéaire d'ordre un, je suis amené à calculer la primitive suivante:

avec la constante

Le début de la résolution m'embarque dans quelque chose de monstrueux composé de Arctanh et de ln, en veux-tu en voilà...

Pourrais-tu me donner un autre coup de pouce ? (ou quelqu'un d'autre bien entendu)

Je vous remercie d'avance !!

[invite57a1e779]

Mon promoteur a suivi une autre direction pour étudier la problématique (une autre approche qui ne le fait pas passer par cette équation) et obtient une expression analytique pour .

Qu'obtient-il comme expression de ?

Parce qu'effectivement, même en posant et , on soulage légèrement les calculs, mais cela reste très lourd, et je n'imagine pas quelque chose de simple après résolution de l'équation de Lagrange.

[invite9111fdef]

Qu'obtient-il comme expression de ?

Il n'a pas voulu me le dire. Il préfère que nous fassions nos calculs de façon indépendante, pour ne pas s'auto influencer, au cas où l'un d'entre nous se planterait...

Parce qu'effectivement, même en posant et , on soulage légèrement les calculs, mais cela reste très lourd, et je n'imagine pas quelque chose de simple après résolution de l'équation de Lagrange.

Du très lourd en effet
Tu as une idée pour l'intégrale?

[invite57a1e779]

On fait le changement de variable , d'où et ; par suite :



On n'a plus qu'à intégrer la fraction rationnelle, mais la réduction en éléments simples n'est pas des plus attrayantes.

Par ailleurs, je ne comprends pas bien comment on peut arriver à avoir le facteur .

[invite9111fdef]

Merci pour ta réponse.

Dans l'intégrale de base?

La résolution de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 s'effectue par la variation des constantes. Dans mon cas, c'est une équation différentielle à second membre. Donc, j'utilise la formule suivante:


C'est le terme qui donne l'intégrale demandée dans mon message précédent. Et le terme en provient de sous la forme .

Je ne sais pas si j'ai été assez clair...