Salut à tous, je bloque sur un exo :
Soit E une ellipse de centre o et de foyers F et F'. Soit a le demi grand axe et c=OF. Montrer que M est sur E ssi :
MF.MF'+OM²=2a²-c²
J'ai commencé en disant :
MF = e.MH
MF'= e.MH'
=> MF.MF'=e(MF.MF')
Mais je ne sais pas si jsuis bien parti ..
Je ne sais pas d'où vient ce MF = e MH mais pour un cercle c'est manifestement faux (e=0).
Tu peux écrire que MF + MF' = 2a, élever au carré et écrire que MF²=(x+c)²+y² et pareil pour MF'²
Tu développes l'expression de MF.MF' et tu trouves ce que tu cherches.
Je ne sais pas si la définition bifocale de l'ellipse
(a longueur du grand axe) est supposée acquise, mais avec on y arrive assez facilement en l'élevant au carré:
...
oui, elle est suposée acquise.
après on prend les valeurs a et c pour terminer ?
je vois pas trop comment tu continu ...
Le premier est à développer (pour FM et F'M) mais le deuxième à garder puisqu'il fait partie de ta formule à trouver... Sinon tu fais comme l'a dit JeanPaul sans passer par des vecteurs en exprimant directement en x et yEnvoyé par lewis72
oui, elle est suposée acquise.
après on prend les valeurs a et c pour terminer ?
faut que je dvl FO et F'O c'est çà ?
Ecris que MF + MF' = 2a, calcule le carré, tu trouves que
2 MF.MF' = 4 a² - MF² - MF'²
Tu vois que MF² = (x+c)² + y²
Développe et c'est bouclé.
Je suis d'accord pour tout, c'est juste le (x+c) qui me chagrine. Si F(c,0) et M(x,y) alors çà fait (c-x)², non ?
Mais si F(-c,0), ça fait (c+x)² !
MF² = (x+c)²+y² = x²+2cx+c²+y²
MF'² = (c-x)²+y² = x²-2cx+c²+y²
2MF*MF'=4a²-MF²-MF'²
2MF*MF'=4a²-2x²-2c²-2y²
MF*MF'=2a²-c²-x²-y²
MF*MF'+(x²+y²)=2a²-c²
or M(x,y), donc OM²(x²,y²)
d'où, MF*MF'+OM²=2a²-c²
merci à vous deux
Oui en effet, je l'avais résolu de la même manière aussi
Ce résultat est aussi appelé : Définition tri-focale de l'ellipse.
Bonne soirée
