Résoudre x^(n) -1 = x

[invite8272d604]

Bonjour, voila je dois montrer que fn(x) = x^(n) -1 admet un unique point fixe, x>0 et n>2.

Je cherche donc à résoudre fn(x)=x
ou encore : x^(n)-x-1=0

J'étudie la fonction précédente, que je nomme gn(x)
gn'(x)=n*x^(n-1)-1

Mais là, que faire, comment trouver le signe de gn'(x) ?

J'ai tené la dérivée seconde, mais en vain...

Merci de votre aide
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[invite57a1e779]

gn'(x)=n*x^(n-1)-1

Mais là, que faire, comment trouver le signe de gn'(x) ?

J'ai tené la dérivée seconde, mais en vain...

Pourtant la dérivée seconde est des plus simples :

[invite88ef51f0]

Salut,
Le signe de g' n'est pas si compliqué que ça. C'est positif si et seulement si x est plus grand que .

[invite8272d604]

effectivement, merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Je cherche donc à résoudre fn(x)=x
ou encore : x^(n)-x-1=0

On peut répondre à la question sans passer par les dérivées et un tableau de variation :
Comme , l'équation s'écrit aussi . Les fonctions et étant strictement croissantes sur , leur somme est aussi strictement croissante sur cet intervalle. L'équation admet par conséquent au plus une solution. Il reste à prouver que la solution en question existe ce qui n'est pas bien compliqué.

[invite9a322bed]

Il reste à prouver que la solution en question existe ce qui n'est pas bien compliqué.

Une étude de limites en 0+ et +oo suffit pour celà