Résoudre x² + 1 = 0

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dois montrer que l'équation x² + 1 admet une infinité de solutions sur

Donc, je pose x = a + bi + cj + dk (a,b,c,d des réels) et j'obtiens un système non linéaire en (a,b,c,d) :

a² - b² - c² - d² = -1
ab = 0
ac = 0
ad = 0

Je dois juste montrer qu'il existe une infinité de quadruple de nombres réels qui satisfont le système :

Si je cherche les solutions du type (0,0,a,d) je me ramène à :

c² + d² = 1

ce qui est l'équation d'un cercle de R² centré en (0,0) et de rayon 1
Tous les quadruples (0,0,c,d) satisfont donc l'équation du moment que (c,d) est un point du cercle de rayon 1 centré en (0,0).

Ca marche ça comme justification ? Ca m'énerve je ne sais jamais si mes justifications sont valables ou s'il faut que je justifie plus en profondeur

merci
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[inviteae1ed006]

Si je cherche les solutions du type (0,0,a,d) je me ramène à :

c² + d² = 1

tu cherches des solutions du type (0,0,a,d) ou (a,0,0,d) ?

a² - b² - c² - d² = -1
ab = 0
ac = 0
ad = 0

N'a-t-on pas aussi bc=bd=cd=0 pour avoir une équivalence ?

[inviteae1ed006]

Je retire ce que j'ai dit c'etait n'importe quoi ...
Et je suis tout à fait d'accord avec ta justification...

[invite5e1117d5]

Si tu supposes a non nul, alors b, c et d sont nuls. D'où a²=-1, ce qui est impossible pour un réel.

Donc a= 0 et b² +c² +d² =1. Tes solutions sont donc inclus dans la sphère S². La réciproque provient du même calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae1ed006]

Je pense même que tu aurais pu t'arreter à b²+c²+d²=1 qui admet une infinité de solution dans

[Bleyblue]

Si tu supposes a non nul, alors b, c et d sont nuls. D'où a²=-1, ce qui est impossible pour un réel.

Donc a= 0 et b² +c² +d² =1. Tes solutions sont donc inclus dans la sphère S². La réciproque provient du même calcul.

Mais je posais a et b nul, c et d quelconque, je me suis embrouillé dans mes notations milles excuses

Je pense même que tu aurais pu t'arreter à b²+c²+d²=1 qui admet une infinité de solution dans

Mais j'aurais peut-être dû le montrer ? Quoique géométriquement c'est évident mais encore une fois je ne sais pas si ça passe comme justification à un examen par exemple ...

merci

[inviteae1ed006]

b²+c²+d²=1... c'est l'équation d'une sphère et je pense que ça passe largement dans un exam...

[Bleyblue]

D'accord, merci bien pour vos réponses !