Résoudre A^k = B^q

**Anduriel** · 22/08/2007, 14h29

Bojour à tous,

J'aimerai savoir (en espérant de ne pas avoir perdu le coup de main pendant les vacances) comment vous résolveriez l'équation pour k et q:

$\text{[math]}$

Avec A, B constants appartenant à N* et k, q variables appartanant à N*.
Peut être pour certaines valeurs de A et B les choses paraissent évidentes mais le dire me parait absurde...

Merci

**FonKy-** · 22/08/2007, 14h36

Salut

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FonKy- ( d4 oOf)

invitec053041c · 22/08/2007, 14h48

Euh on travaille dans IN Fonky. Pas top l'expo et le ln

.

Sinon, quelle(s) est(sont) la(les) inconnue(s) ?
J'imagine que tu cherches le couples (q,k).
Dans ce cas tu peux distinguer des cas:

Si A et B sont premiers entre eux, alors il n'y a pas de solution. (dans N*²)

Sinon,pour avoir des solutions, il faut que les facteurs premiers qui composent A et B soient les mêmes (condition nécéssaire).

je réfléchis un peu à ton problème, mais il faut plutôt le voir dans les cas particuliers.

**Anduriel** · 22/08/2007, 15h01

Oui on est bien dans N*² et je rechercher bien tous les couples (k;p) possibles.
En précisant, mon équation est $\text{[math]}$
A vue d'oeil, le seul couple possible est (0;0), mais j'aimerai en être sûr...

Merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**FonKy-** · 22/08/2007, 15h07

Envoyé par Ledescat

Euh on travaille dans IN Fonky. Pas top l'expo et le ln

.

bah pourquoi pas ?

il suffit juste que lnB/lnA soit un naturel également et le tour est joué non ?

S'il s'agit d'un probleme d'arithmétique avec nombre premiers etc. je suis pas là

**FonKy-** · 22/08/2007, 15h11

Envoyé par Anduriel

Oui on est bien dans N*² et je rechercher bien tous les couples (k;p) possibles.
En précisant, mon équation est $\text{[math]}$
A vue d'oeil, le seul couple possible est (0;0), mais j'aimerai en être sûr...

Merci

donc dans mon truc ln(10)/ln(2)= 3.321928095 donc ca marche pas

mais sinon (0;0) n'est pas solution non plus .. tu travaille avec les *

**FonKy-** · 22/08/2007, 15h18

mais je suis en train de réfléchir qu'il faut que A et B soient sous la forme d'une exponentielle avec l'exposant de A > celui de B et il faut donc que à la fois l'exponentielle appartiennent aux naturels tout comme l'exposant .. c'est possible lol ou je suis completement à coté de ce machin qu'on appelle la plaque ?

FonKy-

invite43bf475e · 22/08/2007, 15h22

j'y réfléchis!

invitec053041c · 22/08/2007, 15h40

Envoyé par Anduriel

Oui on est bien dans N*² et je rechercher bien tous les couples (k;p) possibles.
En précisant, mon équation est $\text{[math]}$
A vue d'oeil, le seul couple possible est (0;0), mais j'aimerai en être sûr...

Merci

Oui en effet.
Après avoir vu que q=k=0 est solution, on suppose par exemple que k>q (on fera l'inverse après si tu veux):

$\text{[math]}$

Absurde si k>q et q différent de 0. (nomre pair=nombre impair, ou 2 nombres égaux qui n'ont pas la même décomposition en facteurs premiers etc...)

invite43bf475e · 22/08/2007, 15h44

par contraposée aussi: si (q;k) différent de (0;0) => $\text{[math]}$ n'admet pas de solutions... naturelles

invitec053041c · 22/08/2007, 15h47

Remarque, e est transcendant, donc il n'est pas racine d'équations polynomiales à coefficients dans IN. (ce qui serait le cas si e^n=q)
Donc e^n est irrationnel (comme rpévu).

invitec053041c · 22/08/2007, 15h53

(désolé pour la fausse manip, il faut enlever le "remarque"

)

**FonKy-** · 22/08/2007, 16h38

Bon je fini de résoudre avec ma méthode:

on a $\text{[math]}$

et il n'ya en fait que des solutions pour B=Aⁿ avec n appartient a IN*, d'ou $\text{[math]}$
les couples de la formes $\text{[math]}$ seront donc solutions

ou alors pour A=B^m dans le cas ou $\text{[math]}$
d'ou $\text{[math]}$ , et donc
les couples de la formes $\text{[math]}$ seront donc solutions

(mais j'aime pas trop ce que j'ai fait ..)

FonKy-

nb: pour la solution arithémetique , faut demander a Ledescat

spécialiste

**Médiat** · 22/08/2007, 16h50

Il me semble qu'en remarquant que A et B doivent avoir les mêmes facteurs premiers, le reste est évident, non ?

**FonKy-** · 22/08/2007, 17h00

Envoyé par Médiat

Il me semble qu'en remarquant que A et B doivent avoir les mêmes facteurs premiers, le reste est évident, non ?

S'il s'agit d'un probleme d'arithmétique avec nombre premiers etc. je suis pas là

oui mais est-ce que le fait de remarquer suffit et demontre bien ? j'ai un peu le meme soucis je suis pas sur a 100% de demontrer tous les cas possibles

ou alors conclure par une démo par l'absurde (j'y planche !).

FonKy-

invitec053041c · 22/08/2007, 17h02

Envoyé par Médiat

Il me semble qu'en remarquant que A et B doivent avoir les mêmes facteurs premiers, le reste est évident, non ?

Oui, c'est ce que j'ai dit plus haut.
Il me semble (fonky aussi) qu'il faut et il suffit que A=B^n ou vice versa pour trouver des solutions (une infinité).

**Médiat** · 22/08/2007, 17h08

Envoyé par Ledescat

Il me semble (fonky aussi) qu'il faut et il suffit que A=B^n ou vice versa pour trouver des solutions (une infinité).

$\text{[math]}$ et pourtant 4 n'est pas une puissance de 8 ni 8 une puissance de 4.

invitec053041c · 22/08/2007, 17h12

Envoyé par Médiat

$\text{[math]}$ et pourtant 4 n'est pas une puissance de 8 ni 8 une puissance de 4.

Je savais que je pouvais trouver un contre exemple dans ces eaux là

.

**FonKy-** · 22/08/2007, 17h29

Envoyé par Médiat

$\text{[math]}$ et pourtant 4 n'est pas une puissance de 8 ni 8 une puissance de 4.

je crois que je suis en train de tomber amoureux

loool

mouai en fait j'abandone ma piste des ln .. car on retombe dans des considérations de facteurs premiers et ca n'a donc plus aucun intéret

en ne regardant qu un cas
on pourrait partir sur le fait que $\text{[math]}$ r naturel non nul
d'ou $\text{[math]}$
et la en fait, soit on retombe sur du B=r^s s naturel , ou alors peut etre du B=t.r ou t naturel etc.

mais je trouve ca moins intéressant

A noter que B=r^s=r.(r(r(r(....(r))))) s fois

Sans blague

mais moi j'attend la démo arithmétique

FonKy-

invitec053041c · 22/08/2007, 18h05

Envoyé par FonKy-

mais moi j'attend la démo arithmétique

La démo de quoi en fait ?

**FonKy-** · 22/08/2007, 18h08

bah du probleme lol

**Médiat** · 22/08/2007, 18h11

Envoyé par Ledescat

La démo de quoi en fait ?

Le théorème de Gauss doit permettre de tout faire...

invitec053041c · 22/08/2007, 18h15

Envoyé par Médiat

Le théorème de Gauss doit permettre de tout faire...

Oui vous avez raison.

**FonKy-** · 22/08/2007, 18h31

Ben je veux voir moi. Ki Ki s'y lance ?

invitec053041c · 22/08/2007, 18h40

Envoyé par FonKy-

Ben je veux voir moi. Ki Ki s'y lance ?

Mais c'est surtout du cas par cas.

**Médiat** · 22/08/2007, 18h42

Envoyé par Ledescat

Mais c'est surtout du cas par cas.

Non il te suffit d'utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers (qui se démontre avec le théorème de Gauss, justement)

invite43bf475e · 22/08/2007, 18h47

la décomposition en facteurs premiers (qui se démontre avec le théorème de Gauss, justement)

on n'a pas ca en spé maths terminale...

invite43bf475e · 22/08/2007, 18h51

en fait en spé, on ne démontre que l'existence par récurrence (faible), l'unicité de la décomposition est admise...

**Dydo** · 22/08/2007, 19h36

On a l'habitude maintenant, c'ets bien, au fond, de tout admettre, ça va plus vite tout à coup :þ Un problème, tu passe et tu met "trivial" ou "admis", et hop, le tour est joué ^^

**invite35452583** · 22/08/2007, 23h57

$\text{[math]}$
soit un premier p qui divise B, il divise alors $\text{[math]}$ , p divise donc $\text{[math]}$ =A...A p divise au moins un des facteurs donc p divise A.
Par symétrie les diviseurs premiers de A divise aussi B.
A et B ont donc les mêmes diviseurs premiers.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ équivaut donc à $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ pour un indice i on a alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est un nombre premier divisant le 1er membre mais pas le second (contradiction).
De même par symétrie, $\text{[math]}$ est contradictoire.
Ainsi $\text{[math]}$ pour tous les indices i.
(On peut réduire la preuve si l'unicité des décompositions en facteurs premiers est déjà montré ou admise)

Ainsi, il ne peut y avoir une solution que si tous les $\text{[math]}$ sont égaux. (Illustrons avec 6 et 12, il est impossible que $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ on a à la fois 2q=k et q=k)
Dans ce cas, il suffit que $\text{[math]}$
Si on pose $\text{[math]}$ m est un multiple de $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Résoudre A^k = B^q

Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

Re : Résoudre A^k = B^q

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