Equation différentielle

[Kavey]

Bonjour,

pourrait-on m'expliquer quelque chose s'il vous plaît,

dans un de mes exercices sur les équations différentielles où on me demande d'utiliser la méthode de Lagrange, l'énoncé nous donne :
y' + y = g(x)
g(x) = e^x

Je cherche donc d'abord la solution de l'équation sans second membre:
y' + y = 0
<=> dy/dx + y = 0
<=> dy/dx = -y
<=> dy/y = -dx
<=> intégrale de dy/y = intégrale de -dx
<=> ln|y| = -x+C
Je voudrais savoir lorsqu'on veut isoler y on doit utiliser la fonction exponentielle mais de l'autre côté de l'égalité doit-on l'appliquer comme ceci : e^-x+e^C, ou bien comme ceci : e^-x+C, et si nous avions dû utiliser ln aurions-nous dû l'utiliser comme ceci : ln^-x+ln^C ou bien ceci : ln^-x+C parce-que je doute mais pour la suite de l'exercice je vais utiliser la deuxième...
<=> y = e^-x+C
<=> y = e^-x.e^C
<=> y = Ce^-x

Ensuite nous cherchons la solution générale de l'équation avec second membre :
y = C(x)e^-x <=> y' = C'(x)e^-x - C(x)e^-x

C'(x)e^-x - C(x)e^-x + C(x)e^-x = g(x)
<=> C'(x)e^-x = g(x)
<=> C'(x)e^-x = e^x
<=> C'(x) = e^-2x
<=> C(x) = -1/2e^-2x

Mais voilà... Dans la correction dans mon livre je ne sais pas pourquoi il est écrit qu'on a plutôt :
<=> C'(x) = e^2x
<=> C(x) = 1/2.e^2x

Pourrait-on m'aider à comprendre? =S
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[invite42d3ecec]

Tu l'a fait à la physicien....


Solution evidente : 1/2e^x et tu resoud l'equation homogene , pour le cas generale , on cherche des solutions sous la forme P(x)e^x

[krikor]

bonjour,

y°=c*e^(-x)
c'e^(-x)=c'/e^x=e^x,
c'(x)=e^(2x)

c(x)=1/2*int d(e^(2x)=...

[Kavey]

Je ne comprends pas pourquoi : C'e^-x=C'/e^x=e^x

=S

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42d3ecec]

Il applique la methode de variation de la constante. Mais c'est vraisemblablement faux car en reinjectant dans l'equation.

[krikor]

y'+y=e^x, (1)
y'+y=0, y'=-y, y'/y=-1, ln(y/c)=-x
y°=c*e^(-x) y°-solution de l'equation homogene

y_p-solution particuliere yp=c(x)*e^(-x)

(yp)'=c'(x)e^(-x)-c(x)e^(-x), (1)
y'p+yp=e^x, c'e^(-x)-ce^(-x)+c(x)*e^(-x)=e^x
c'(x)e^(-x)=e^x, c'(x)=e^(2x);
c(x)=int e^(2x)dx=1/2*e^(2x)+c1
y_p=[1/2*e^(2x)+c1]*e^(-x)

y(x)=y°+y_p=C*e^(-x)+1/2*e^(2x), C=c+c1

[Kavey]

Ah oui merci j'ai compris c'était simplement une règle de calcule sur les exponentielle que je n'avais pas prise en compte -.-" qui est e^a/e^b = e^a-b ce qui nous donne :

C'(x)e-x = ex
<=> C'(x) = e^x/e^-x
<=> C'(x) = e^(x-(-x))
<=> C'(x) = e^2x