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Intérieur d'un fermé



  1. #1
    Tonio89

    Intérieur d'un fermé


    ------

    Bonsoir à tous,

    j'aimerai savoir si l'intérieur d'un fermé F est toujours vide et si oui pourquoi ? J'avoue que je n'arrive pas bien à me représenter l'intérieur, si ce n'est que c'est le plus grand ouvert contenu dans l'ensemble F et a priori je ne vois pas de raison immédiate.

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    girdav

    Re : Intérieur d'un fermé

    Bonjour,
    l'intérieur d'un fermé n'est pas toujours vide: par exemple, muni de la topologie usuelle, et .
    C'est un fermé mais son intérieur est non vide.

  3. #3
    Tonio89

    Re : Intérieur d'un fermé

    Citation Envoyé par girdav Voir le message
    Bonjour,
    l'intérieur d'un fermé n'est pas toujours vide: par exemple, muni de la topologie usuelle, et .
    C'est un fermé mais son intérieur est non vide.
    Oui c'est bien ce que je me disais mais pourtant dans un corrigé je lis
    Soit F={f continue de [0,1] dans R tq f(0)=f(1)}, cette ensemble est fermé pour la norme infini (ok) donc son adhérence est lui même (ok) et son intérieur est l'enemble vide (?).

    Merci

  4. #4
    God's Breath

    Re : Intérieur d'un fermé

    Dans ton exemple, F est un sous-espace vectoriel strict de l'espace des fonctions continues de [0,1] dans R. Dans un espace vectoriel normé, un sous-espace strict est toujours d'intérieur vide car il ne peut contenir aucune boule.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Tonio89

    Re : Intérieur d'un fermé

    Et pourquoi un sev ne peut pas contenir de boule ?

  7. #6
    God's Breath

    Re : Intérieur d'un fermé

    Un sous-espace vectoriel est stable par homothéties : s'il contient une boule, il contient toutes les boules concentriques, et par suite ce sous-espace est l'espace tout entier.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    Tonio89

    Re : Intérieur d'un fermé

    Merci à toi !

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