Bonjour,
J'ai un exercice a faire et je souhaiterais , s'il vous plait, que vous me confirmiez si mes réponses sont justes et les réponses aux questions que je n'ai pas su faire.
La plan est rapporté à un repère (O,i(vecteur),j(vecteur)) d'unité graphique 1cm;on considère la courbe C ensemble de tous les points M de coordonnées (x,y) tels qu'il existe au moins un nombre t de l'intervalle [0,1] de sorte que:
x=60t(1-t) .
y=30t^2(1-t)
On note f et g les fonctions de la variable réelle t définies sur l'intervalle [0,1] par:
f(t)=60t(1-t) .
g(t)=30t^2(1-t)
1/Etudier le sens de variation de f et de g et rassembler les résultats dans un tableau unique dans laquel oon fera apparaître les valeurs de f(t) et g(t) pour t=0,t=1/2 ,t=2/3 et t=1 (on indiquera les valeurs exactes).
Sens de variation de f
f est définie continue et dérivable sur [0,1]
Considérée comme restriction dun fonction polynôme sur lintervalle [0,1]
f'(t)=60(1-t)+60(-1)
f'(t)=60(1-t-t)=60(1-2t)
f'(t)=0 <=> 1-2t=0 <=> t=1/2
f'(t)>0 <=>1-2t>0 <=>1/2 >t
f'(t)<0 <=> 1-2t<0 <=> 1/2<t
Donc f est strictement décroissante sur [1/2 ,1] et strictement croissante sur [0,1/2] et son tableau de variation est
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t ______0 _____ 12 ________1
____________________________
f'(t) _____ + ____ 0_______ -
____________________________
f(t)___0 ________15 _____ 0
Sens de variation de g
g'(t)= 60t(1-t)+30t^2(-1)=30 t (2(1-t)-t)
g'(t)= 30t(2-3t).
Le signe de g(t) est celui de t(2-3t)
g'(t)=0 <=> t=0 ou 2-3t=0
<=> t=0 ou t=2/3
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t ______0______2/3________1
___________________________
t(2-3t)_0___+____ 0______ _
___________________________
g'(t)_0___+_____0______ _
___________________________
g(t)_0_______40/9_____0
Tableau pour g et f
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t ____ 0 _____12_____ 2/3_______1
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f(t)___0______15____40/3_______0
______________________________ _
g(t)___0____15/4____40/9_______0
2/a/ Préciser les valeurs des coefficients directeurs des demi-tangentes à la courbe C au point O .
b/On note M1 le point de C où la tangente à C est parallèle à (O,j(vecteur)).
Préciser les coordonnées (x1,y1) du point M1.
c/On note M2 le point de C , distinct de O , où la tangente à C est parallèle à (O,i(vecteur)).
Préciser les coordonnées (x2,y2) du point M2 .
d/On note M0 le point de C de coordonnées [f(1/3),g(1/3)] et D0 la tangente à la courbe C au point M0 .Calculer les coordonnées de M0 ainsi que le coefficient directeur de D0.
2/a/ Valeurs des coefficients directeurs de demi-tangentes à la courbe C au point O
f'(0)=60. 0(1-0)=0
g'(0)= 30.0^2(1-0)=0
Ce sont les coefficients
b/M1(x1,y1)
x1=f(t1)
y1=g(t1)
Coefficient directeur de la tangente à C parallèle à (O, j(vecteur))
f'(t)=0 <=> t=1/2
Alors x1=f(1/2) <=> x1=15
y1=g(1/2) <=> y1=15/4
c/Au point M2 (x2,y2) la tangente à ( C) est parallèle à (O,i(vecteur) avec t # 0
g'(t)=0 <=> t=2/3 alors x2=f (2/3)=40/3
y2=f(2/3)=40/9
M2(40/3,40/9)
d/M0 (f(1/3),g(1/3))
f(1/ 3)=60.1/3(1-1/3)=20.2/3=40/3
g(1/3)= 30(1/3)^2(1-1/3)=30.1/9.2/3=20/9.
Les coefficients directeurs sont
F'(1/3)=60(1-2.1/3)=60.1/3=20
G'(t)=30.1/3(2- 3.1/3)=10
Ce sont les coefficients directeurs à (D0)
Tangente à ( C ) au point M0 (f(1/3) ,g(1/3))
Soit M0 (40/3 , 20/9)
3/Construire la courbe C en tenant compte des résultats précédents (on devra trouver une courbe fermée); on précisera sur le graphique les demi-tangentes on O, la droite D0 ,la tangente D1 à C au point M1 et la tangente à C au point M2.
4/On note:
Qle point d'intersection de l'axe (O,i(vecteur)) et de droite D0;
R le point d'intersection de la droite D0 et de la droite D2;
S le point d'intersection de la droite D2 et de la droite ^ d'équation y=1/2x
a/Démontrer que le quadrilatère (OQRS) est un parallélogramme.
b/Calculer les coordonnées des point Q et S, en déduire que la droite (QS) est parallèle à l'axe (O,j(vecteur))
c/Exprimer,en cm^2, l'aire A du parallélogramme (OQRS).On donnera la valeur exacte,puis la valeur approchée avec 2 décimales la plus proche (arrondie au mm^2)
3/4/je bloque
je vous remercie pour votre aide
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