Déterminant infernal !

[invite4a9059ea]

bonsoir ,

je dois calculer :





et je trouve

je suis franchement pas sur du résultat et ça me parait bizarre comme polynôme caractéristique ?
quelqu'un peut confirmer ou faire une autre proposition ?

Merci
-----

[invite4793db90]

Salut,

maxima donne le même résultat.

Cordialement.

[invite4a9059ea]

ok merci ;

mais je bloque sur cette factorisation , peut être qu'elle est bête mais je ne vois pas ?

[invite4a9059ea]

c'est bon j'ai trouvé , mais c'était pas évident comme factorisation

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4a9059ea]

le déterminant que j'ai calculé est le polynôme caractéristique de la matrice suivante :



m est 1 paramètre réel

on me demande de déterminer tous les espaces propres de la matrice , en supposant que les 3 valeurs propres 1, m+2 et -m-1 sont distinctes donc que est diagonalisable.

Si quelqu'un à une idée pour les 3 ss espaces propres ?

(histoire de comparer avec mes calculs ! )

Merci

[invite4a9059ea]

pour la première valeur propre 1 , je trouve :



je continue en espérant que ce soit bon ?

[invite4a9059ea]

pour la valeur propre m+2 , je trouve :




je continue en espérant que ce soit bon ?

[invite4a9059ea]

pour la valeur propre -m-1 , je trouve :





voilà ; reste plus qu'à savoir si c'est correcte ....

ps : m différent de -1 et -2 ...

[invite57a1e779]

Ne serait-il pas plus simple d'obtenir les espaces propres sous la forme :





ce qui est valable pour toute valeur de , mais sous la condition que les trois valeurs propres soient distinctes.

As-tu regardé ce qui se passe en cas de valeur propre double ?

[invite57a1e779]

je trouve

Sous cette forme, le polynôme caractéristique est factorisé, et les racines sont visibles. Pourquoi avoir développé pour obtenir , et se poser ensuite le problème d'une factorisation « pas évidente » ?

[invite4a9059ea]

Ne serait-il pas plus simple d'obtenir les espaces propres sous la forme :





ce qui est valable pour toute valeur de , mais sous la condition que les trois valeurs propres soient distinctes.

As-tu regardé ce qui se passe en cas de valeur propre double ?

Bonjour God's Breath ;

oui j'ai étudier le cas pour toutes les valeurs de m :

par exemple ,quand m= -1 j'ai une valeur propre simple 0 et 1 valeur propre double 1 , est diagonalisable et je trouve donc 2 ss espaces propres :



et qui est un plan de forcément :



aprés j'ai étudié les cas m= -2 et m =-3/2 , et je n'en vois pas d'autre où on pourrait avoir une valeur propre double , si quelqu'un voit d'autre valeur possible pour m , merci de me le signaler .....

[invite4a9059ea]

Sous cette forme, le polynôme caractéristique est factorisé, et les racines sont visibles. Pourquoi avoir développé pour obtenir , et se poser ensuite le problème d'une factorisation « pas évidente » ?

J'avoue j'ai un peu triché , Mapple me donnait le résultat sous forme factorisé , ensuite me rester plus qu'à le trouver à la main , et là j'ai croiser cette factorisation pas évidente !

[invite4a9059ea]

bon dernière question de mon exo :

les sous espaces propres déterminés pour toute valeurs de m différentes de {-1,-2,-3/2} reste-t-il vrai dans le cas où est non diagonalisable .

ma réponse est non car dans le cas non diagonalisable le nbre de sous espaces propres est différent de 3 , il peut être égal à 1 ou 2 , donc le résutat trouvé ne peut s'appliquer .

Si quelqu'un à une réponse plus rigoureuse , je suis tout ouïe car je suis pour le partage des connaissances

[invite4a9059ea]

j'ai l'impression que ce que je viens de marquer est faux !

En effet , pour m=-2 , je sais que n'est pas diagonalisable et en remplacant m par la valeur -2 dans les sous espaces propres de C_m que j'ai déterminé , je retombe sur les sous espaces propres de c'est à dire :



et




Donc :
le résultat semblerait correct mais je me retrouve avec un ss espace qui lui n'est pas défini est-ce que je peux l'écarter ???

Merci

[invite4a9059ea]

j'ai l'impression que ce que je viens de marquer est faux !

En effet , pour m=-2 , je sais que n'est pas diagonalisable et en remplacant m par la valeur -2 dans les sous espaces propres de C_m que j'ai déterminé , je retombe sur les sous espaces propres de c'est à dire :



et




Donc :
le résultat semblerait correct mais je me retrouve avec un ss espace qui lui n'est pas défini est-ce que je peux l'écarter ???

Merci

je me trouve avec 2 ss espace un avec (-m-1 en remplacant m par -2 ) et l'autre qui est donné !

Le ss espace propre qui n'est pas défini car m doit être différent de -2 est-ce que je peux l'écarter et dire que les ss espaces propres calculés sont valides même pour non diagonalisable ?

[invite4a9059ea]

Personne pour répondre à ma question , si je ne suis pas assez clair dans mes réponses il faut me le dire , y a pas de soucis !

[invite57a1e779]

Un fois que tu as le polynôme caractéristique, tu dois distinguer 4 cas.

1. m=-2. Il y a deux valeurs propres : 1, valeur propre double, et 0, valeur propre simple.

2. m=-1. Il y a deux valeurs propres : 1, valeur propre double, et 0, valeur propre simple.

3. m=-3/2. Il y a deux valeurs propres : 1/2, valeur propre double, et 1, valeur propre simple.

4. Autres valeurs de m. Il y a trois valeurs propres simples : 1, -m-1, m+2.

Dans chaque cas, tu détermines les espaces propres.

[invite4a9059ea]

oui c'est ce que j'ai fait ...

Mais maintenant il me demande si les ss espaces que j'ai calculé pour le cas : 1, -m-1 , m+2

me permettent de calculer directement les ss espaces associé à dans le cas où le paramètre m me permet d'avoir non diagonalisable c'est à dire pour m=-2 et m=-3/2 ....

est ce que je suis assez clair

[invite57a1e779]

Il me semble que le calcul prouve effectivement que c'est le cas.

[invite4a9059ea]

bon je vais traiter le cas m=-2 pour être plus clair !

je trouve que les sous espace propres de , sont :



et



donc n'est pas diagonalisable car les sous espaces propres ne sont pas en somme directe .

maintenant si je regarde les sous espaces propres que j'ai calculé précédemment pour je me rend compte que si je remplace m par la valeur -2 je me retrouve avec et c'est bon !

puis avec un autre = qui lui n'est pas défini car m doit être différent de -2 , est ce que je peux faire abstraction de ce ss espace là et dire que les ss espace propre calculer pour me permettent de calculer directement les ss espaces propre pour m=-2 et m=-3/2 car dans ces 2 cas , et ne sont pas diagonalisables.

Merci

[invite57a1e779]

Si tu définis les espaces propres comme dans mon message #11, tu n'as de problème pour aucune valeur de m.

[invite4a9059ea]

Il me semble que le calcul prouve effectivement que c'est le cas.

Trés bien merci God's Breath , je vais donc marquer que les ss espaces propres calculés pour me permettent de déterminer directement les ss espaces propres dans le cas où m est un paramètre qui me permet d'avoir non diagonalisable ( càd pour m=-2 et m=-3/2 ).

Cordialement

[invite4a9059ea]

Si tu définis les espaces propres comme dans mon message #11, tu n'as de problème pour aucune valeur de m.

oh que si ! je trouve que les vecteurs générateurs des ss espaces propres sont différents de ce que je calcule en remplacant m par la valeur m=-2 par exemple , j'ai déjà fait les calculs , mais enfin peut être que je me trompe ?

cordialement

[invite4a9059ea]

"différent" non , en faite les ss espaces sont formés par des vecteurs proportionnels aux autres vecteurs des autres ss espaces ....

Merci
Cordialement