Exercices fonctions réciproques

[invite36ea3484]

Bonjour,

J'aimerai avoir des pistes pour l'exercice suivant :

Soit la fonction f définie par f(x)=cosx/sinx
1) donner l'intervalle le plus grand possible et contenant pi/2 telle que f est définie et strictement monotone sur I
2) définir alors précisément l'application réciproque correspondante que l'on notera g.
3) citer le théoreme qui montre que l'application g est dérivable et calculer sa dérivée (on montrera au préalable que f'(x)= -1-f(x)^2)
4)Montrer que f(x)=tan(pi/2 -x) et en déduire une expression de g(y) en fonction de arctany.
retrouver alors la dérivée de g

Merci d'avance
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[invite754f3790]

t'as fait quoi pour l'instant ?

[invite36ea3484]

Cet exercice concerne le chapitre "dérivation", avec dérivée des fonctions réciproques, fonctions circulaires réciproques.

* pour la premiere question je ne sais pas trop comment justifier.
* pour la deuxième, j'ai trouvé que g(x)= arccosx/arcsinx= 1/arctanx

[invite754f3790]

Pour la question 1 : c'est l'intervalle contenant Pi/2 tel que sin(x) soit non nul sur tout cet intervalle.

Pour la question 2 : Est-ce que tu as remarqué que f(x)=1/tan(x) ? La fonction g que tu propose ne convient pas, essaie plutot arctan(1/x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite754f3790]

* pour la deuxième, j'ai trouvé que g(x)= arccosx/arcsinx= 1/arctanx

attention, l'image réciproque d'un quotient n'est pas le quotient des images réciproques...

[invite36ea3484]

* donc pour la question 1, l'intervalle demandé serait l'intervalle allant de -1 à 1 sauf 0 ?

* oui j'ai vu que f(x)=1/tan(x), mais je ne vois pas comment on peut dire que la réciproque de l'iverse de la fonction tan est arctan(1/x) ...

[invite36ea3484]

* pour la question 1 je voulais dire plutot l'intervalle allant de -pi/2 à pi/2 sauf 0

[invite36ea3484]

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il vous plait car je sature devant cet exercice, je comprends pas pourquoi on n'a pas le droit de dire que la réciproque de f est arccosx/ arcsinx

[invitebe08d051]

Bonsoir

Pour trouver la fonction réciproque, on fixe un élements dans l'ensemble d'arrivée et eon résout l'équation d'inconnu et de parametre .

Suivons le meme schéma pour ta fonction:

...

Cordialement

[invite57a1e779]

Soit la fonction f définie par f(x)=cosx/sinx
1) donner l'intervalle le plus grand possible et contenant pi/2 telle que f est définie et strictement monotone sur I

Avec cette question, on travaille sur .

...

et curieusement la résolution est faite sur ...

[invite36ea3484]

Merci beaucoup, je comprends mieux.

et l'intervalle que j'ai avancé est-ce le bon?

[invite57a1e779]

* pour la question 1 je voulais dire plutot l'intervalle allant de -pi/2 à pi/2 sauf 0

Ce n'est pas un intervalle, mais la réunion de deux intervalles.

[invite36ea3484]

D'accord, donc le domaine de déf d'un quotient de fonctions est-ce lintersection ou l'union des domaines de déf respectifs des 2 fonctions avec un dénominateur qui ne doit pas s'annuler ?

[invite36ea3484]

f est définie si cos x est définie et si sinx est définie et si sinx diff de 0.
j'obtiens donc l'intervalle allant de 0 non inclus à pi/2