Désaccord sur énigme

[invitebdf515f4]

Bonsoir amis matheux,

J'ai posté une énigme sur le site Prise2Tete. C'est un site très sympa, contenant beaucoup d'énigmes et de jeux de réflexion. Excellent pour exercer un peu ses neurones.

Personnellement, j'ai des connaissances très "basiques" en mathématiques ... et c'est là le problème.

Voici mon énigme:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewt...d=51521#p51521

Malheureusement, personne ne semble être d'accord avec ma solution ! Et, couillon comme je suis, j'arrive pas à expliquer !

Je serais très reconnaissant à un matheux de passage de bien vouloir jeter un oeil sur le thread et de me dire ce qu'il en pense.

Le forumeur MthS-MlndN a t-il raison avec sa solution ?
Ai-je déconné quelque part ?

Merci d'avance ...
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[Médiat]

J’ai déjà développé sur FSG des arguments sur ce sujet, et je ne vais pas me répéter, néanmoins je peux ajouter une illustration.

Je pars du seul principe simple, et j’espère, accepté par tout le monde, que s’il existe un raisonnement qui amène à changer d’enveloppe, ce raisonnement sera utilisé par toutes personnes se trouvant dans la même situation.

Supposons maintenant qu’un candidat atteint de la maladie d’Alzheimer se présente au jeu ; l’animateur lui tend l’enveloppe N° 1, il l’ouvre, trouve, par exemple, 100 euros, il applique le raisonnement et décide de changer d’enveloppe, il rend donc l’enveloppe N° 1 et l’animateur lui tend l’enveloppe N° 2, à ce moment précis il perd la mémoire de tout ce qui s’est passé depuis le début du jeu, il ouvre l’enveloppe, trouve, par exemple, 200 euros, il applique le raisonnement et décide de changer d’enveloppe, il rend donc l’enveloppe N° 2 et l’animateur lui tend l’enveloppe N° 1, à ce moment précis il perd la mémoire de tout ce qui s’est passé depuis le début du jeu, il ouvre l’enveloppe, trouve, donc 100 euros, il applique le raisonnement et décide de changer d’enveloppe, il rend donc l’enveloppe N° 1 et l’animateur lui tend l’enveloppe N° 2, à ce moment précis il perd la mémoire de tout ce qui s’est passé depuis le début du jeu, il ouvre l’enveloppe, trouve donc 200 euros, il applique le raisonnement et décide de changer d’enveloppe, il rend donc l’enveloppe N° 2 et l’animateur lui tend … etc.

Bref ce joueur va rendre toutes les enveloppes qu’on lui tendra (jusqu'à son décès ), et ne gagnera rien, c’est donc la pire des stratégies.

[invitebdf515f4]

Ok, donc pour toi, il est clair que la solution du forumeur MthS-MlndN ne marche pas.

Il se trouve qu'à chaque fois que j'essaie de lui démontrer qu'il a tort en donnant un exemple sous une forme imagée ou en utilisant une analogie, on me réponds je suis hors sujet.

Il faudrait réussir à prouver que l'équiprobabilité qui est invoquée par MthS-MlndN ne peut pas être déduite de l'énoncé, donc que c'est un élément d'information qu'il a ajouté artificiellement ... mais je n'y arrive pas.

[invitea3eb043e]

On ne peut pas prouver que les 2 cas 50-100 et 100-200 sont équiprobables, c'est une supposition qu'on fait que le jeu est équitable, de même que le fait que la pièce n'est pas truquée.
A ce moment, on peut faire le calcul d'espérance de gain que tu as fait.
Il intervient aussi un facteur psychologique qui est qu'on n'aime pas perdre ce qu'on a en main et qu'on fuit le risque, surtout quand l'enjeu est important.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebdf515f4]

Donc, tu es d'accord avec MthS-MlndN que le fait de changer d'enveloppe ... cela augmente l'espérance de gain du joueur (de 25% par rapport au cas ou on ne change pas) ?

Car c'est la conclusion inéluctable de l'équiprobabilité supposée des deux configurations possibles (100,50) et (100,200).

[Médiat]

Car c'est la conclusion inéluctable de l'équiprobabilité supposée des deux configurations possibles (100,50) et (100,200).

Ah bon ?
Moi je calcule l'espérance de la façon suivante :
Soit x et 2x les montants qui sont dans les enveloppes, si la probabilité de tomber sur chacun des cas est 1/2, l'espérance de gain généré par le changement est :
E =1/2(x) + 1/2 (-x) = 0 (et donc changer ne change rien).

Car dans un cas j'ai x et je passe à x ==> gain = x
dans l'autre j'ai 2x et je passe à x ==> gain = -x.

[invitebdf515f4]

Médiat, pourquoi (+x) et (-x) ? C'est (+x) et (-x/2).

[Médiat]

Car dans un cas j'ai x et je passe à x ==> gain = x
dans l'autre j'ai 2x et je passe à x ==> gain = -x.

Je corrige une petite faute de frappe :
Car dans un cas j'ai x et je passe à 2x ==> gain = x
dans l'autre j'ai 2x et je passe à x ==> gain = -x.

[invitebdf515f4]

Médiat, je crois qu'il y a un petit malentendu.
Moi, je suis de ton avis : changer d'enveloppe ne change rien.
Moi, je fais le même calcul que toi ... conduisant à la même conclusion que toi.

Mais, d'autres font un calcul, conduisant au fait qu'il est préférable de changer d'enveloppe, et que cela augmente l'espérance de gain de 25%. C'est à ce calcul là que je faisait allusion bien sûr. Le voici:

Une fois que le joueur à 100 euros dans la main, il est invité à garder ou à changer d'enveloppe.

On sait que dans la seconde enveloppe, il y a soit 50 euros, soit 200 euros.
Si on dit que les deux sont équiprobables, on calcule l'espérance de gain du joueur, qui est : E = 1/2 x (-50) + 1/2 x (+100) = +25

Donc, changer d'enveloppe fait gagner en moyenne 25 euros au joueur.

Je pense que ce calcul est faux, car je pense que la probabilité de sortir 50 ou 200 est inconnue ... et ne peut pas être considérée comme étant égale à 1/2.

Si on dit que cette probabilité vaut 1/2 alors, on arrive au fait que changer d'enveloppe augmente l'espérance de gain ... en faisant ce calcul. Donc, la question est : en quoi ce calcul est-il faux ?

[invitea3eb043e]

Le calcul n'est pas faux mais il s'appuie sur une hypothèse d'équiprobabilité qu'on sort d'un chapeau.Les mathématiciens en général n'aiment pas qu'on rajoute des hypothèses dans leurs énoncés.

[Médiat]

Si on dit que cette probabilité vaut 1/2 alors, on arrive au fait que changer d'enveloppe augmente l'espérance de gain ...

J'ai montré (avec l'hypothèse de l'équiprobabilité) exactement le contraire dans un de mes messages précédent : c'est la façon de calculer l'espérance qui est fausse !

[invitebdf515f4]

Oui, c'est exactement ça Médiat.
C'est exactement ce que je dis.
Oui, oui, oui ... on est 100% d'accord.
L'autre calcul est faux, le notre il est bon.

Mais, prouvons leur que l'autre calcul est faux.
Ne nous laissons pas ratatiner !

[invitebdf515f4]

Jeanpaul,

Dans les réponses à l'énigme, un prof de math qui s'appelle MthS-MlndN dit qu'au contraire, il est valide de poser que cette probabilité vaut 1/2, et que cela découle de l'énoncé.

Je lui répond qu'il sort cette probabilité de son chapeau, il répond qu'il est prof de math ... et que cette probabilité est vraie statistiquement.

Que répondre ?

[invitea3eb043e]

Que répondre ?

Que tu n'as pas envie de discuter ! (L'équiprobabilité n'apparaît nulle part dans l'énoncé)

[inviteaf1870ed]

C'est Mediat qui a raison, me semble t il. En effet on se place dans deux univers différents pour faire le mauvais calcul de l'espérance.
Soit on est dans l'univers 50/100, soit on est dans l'univers 100/200, mais on ne peut pas être dans les deux à la fois. Quand on fait le calcul avec les valeurs monétaires, on suppose une fois que l'on a x et l'autre fois que l'on a 2x; c'est différent.

[invite9cf21bce]

Jeanpaul,

Dans les réponses à l'énigme, un prof de math qui s'appelle MthS-MlndN dit qu'au contraire, il est valide de poser que cette probabilité vaut 1/2, et que cela découle de l'énoncé.

Je lui répond qu'il sort cette probabilité de son chapeau, il répond qu'il est prof de math ... et que cette probabilité est vraie statistiquement.

Que répondre ?

Bonsoir hlbnet.

Je vais te donner mes éléments de réponse...

1. Imaginons que les statistiques faites sur l'émission télé donnent :

• 1 fois sur 4 les contenus sont 25 et 50
• 1 fois sur 4 les contenus sont 50 et 100
• 1 fois sur 4 les contenus sont 100 et 200
• 1 fois sur 4 les contenus sont 200 et 400

Alors, sachant que ta première enveloppe contient 100 euros, tu as intérêt à changer d'enveloppe avec une espérance de gain de -50/2+100/2=25.

Le seul cas où tu n'as pas intérêt à changer d'enveloppe est celui où la première enveloppe contient 400 euros.

Cela correspond à une situation où les organisateurs choisissent un nombre n au hasard parmi 25, 50, 100, 200 et mettent n et 2n dans les deux enveloppes.

Tu noteras que le raisonnement de Mths-MlndN ne tient pas la route dans cette situation, car il n'attache semble-t-il aucune importance au fait que le contenu de l'enveloppe est de 100 euros (alors qu'une fois sur 8, il sera de 400 et que dans ce cas, la stratégie "changement d'enveloppe" a une espérance de gain de -200)

2. On peut donc imaginer que Mths-MlndN présuppose que quelle que soit la somme S apparue, la probabilité est de 1/2 que l'autre soit S/2, et de 1/2 que l'autre soit 2S.

Plaçons-nous sous cette hypothèse et réduisons l'univers des possibles aux seuls {100.2^k,100.2^k+1}, où k est un entier relatif. Il y a là une petite difficulté, voir point 3.

Les probabilités sont discrètes. On note p_k la probabilité (avant choix de la paire d'enveloppes par l'organisation) de l'éventualité {100.2^k, 100.2^k+1}. On note A l'enveloppe ayant la petite somme, B l'enveloppe ayant la grande somme.

Alors :



Sachant que l'enveloppe ouverte contient 100.2ⁿ, déterminons les probabilités que l'autre contienne 100.2^n-1 ou 100.2ⁿ⁺¹.

Pour cela, on détermine les probas absolues :

• qu'on ouvre A et que la paire soit {100.2ⁿ,100.2ⁿ⁺¹} : il s'agit de p_n/2
• qu'on ouvre B et que la paire soit {100.2^n-1,100.2ⁿ} : il s'agit de p_n-1/2.

On a utilisé ici l'indépendance entre le choix de la paire et le choix de la première enveloppe ouverte, indépendance qui est assurée par le choix arbitraire (pièce) de l'enveloppe ouverte, fait après le choix de la paire.

Les probabilités sachant qu'on a trouvé S=100.2ⁿ sont donc :

• pour que l'autre contienne 2S
• 
  pour que l'autre contienne S/2.

L'hypothèse donne donc : soit : p_n=p_n-1, et ce, pour tout entier n.

Ainsi : et , ce qui est absurde.

Note : il faudrait préciser les calculs précédents et montrer qu'il n'arrive jamais que p_n+p_n-1=0. C'est très facile par récurrence sur n et par récurrence sur -n.

3. Je ne sais pas comment mettre en défaut ce qui précède. Critiques bienvenues.

Le seul point qui me pose problème est le passage du continu (ou du moins, d'une mesure de probabilité où tous les singletons sont de mesure 0) au discret, que je ne connais pas bien. Des spécialistes ?

Taar.

[invitebdf515f4]

Waouh, excellent, Taar.
J'ai tout compris ... pourtant, je ne suis pas calé.
Mais ta démonstration est pour moi un monument de clarté.
Même en le faisant exprès, on ne peux pas décrocher.
Franchement, je trouve ça brillant.
Si toi, tu n'es pas spécialiste, franchement ... qui l'est ?

La première partie est très claire, elle montre bien qu'un raisonnement "simpliste" butte sur "les bornes", en l'occurrence le 400 dans ton exemple (qui est indétectable par le joueur).

Dans la seconde partie, l'hypothèse simplificatrice limite certes la portée, mais montre bien malgré tout qu'en prenant des hypothèses qui semblent "raisonnables" à priori ... on parviens à une contradiction avec le raisonnement de Mths-MlndN.

Franchement ... bravo et merci.

Pour le passage au continu (je répète bêtement, désolé) ... je suis vraiment peiné de ne pas pouvoir faire avancer le Smilblic.

[inviteaf1870ed]

Il n'en reste pas moins, comme l'a dit Mediat, que même dans le cas de l'équiprobabilité le raisonnement est faux.
L'espérance de gain est nulle pour le changement.

[invitebdf515f4]

Ericcc oui, oui, oui, oui, oui, oui, oui. C'est ça. L'espérance de gain est nulle pour le changement.

A mon grand désarroi, les mathématiques ont perdu un combat sur le site Prise2Tete ou j'ai posté mon énigme. Bon, elles étaient mal défendues ... par moi !

Tous les autres forumeurs, sauf moi, prétendent que la stratégie consistant à changer d'enveloppe augmente l'espérance de gain de 25%.

Le thread est très, très long. J'ai argumenté bec et ongles. Je suis le seul qui considère que la stratégie de changement n'augmente pas l'espérance de gain.

A l'aide ... pas pour moi ... mais pour les mathématiques !