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Enigme sur les valeurs propres



  1. #1
    ericcc

    Enigme sur les valeurs propres


    ------

    Bonjour à tous, je suis tombé récemment sur un petit exercice qui m'a plongé dans des abîmes de perplexité, avant que je trouve où je m'étais trompé. Je vous le soumets :

    Soit A une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf la dernière rangée et la dernière colonne :



    Il s'agit de calculer les valeurs propres. Un calcul évident montre que ces valeurs quand elles sont non nulles sont solutions de l'équation :



    Elles sont donc au nombre de deux.

    MAIS le noyau de A est de dimension n-1 (la matrice carrée composée des n-1 premières lignes et colonnes est nulle).

    La somme des dimensions des sous espaces propres est donc n-1 (noyau correspondant à la valeur propre 0) + 2 (2 valeurs propres simples) soit n+1, dans un espace de dimension n.

    C'est impossible.

    Où est l'erreur ??

    -----

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Enigme sur les valeurs propres

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Où est l'erreur ??
    Là:

    MAIS le noyau de A est de dimension n-1 (la matrice carrée composée des n-1 premières lignes et colonnes est nulle).
    Suffit de prendre le cas n=2 pour réfuter...

    Cordialement,

  4. #3
    Gpadide

    Re : Enigme sur les valeurs propres

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message

    MAIS le noyau de A est de dimension n-1 (la matrice carrée composée des n-1 premières lignes et colonnes est nulle).
    Je comprends pas pourquoi ? Pour moi le rang de la matrice est 2, donc dim(ker(A))=n-2 non ?
    Dernière modification par Gwyddon ; 15/01/2007 à 18h49.

  5. #4
    ericcc

    Re : Enigme sur les valeurs propres

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Là:



    Suffit de prendre le cas n=2 pour réfuter...

    Cordialement,
    On prend n > 2

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Enigme sur les valeurs propres

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    On prend n > 2
    Prend n=3 Ou lis le message de Gpadide (qu'en a eu une).

    Cdlt,

  8. #6
    martini_bird

    Re : Enigme sur les valeurs propres

    Salut ericcc,

    je pense que tu a pris à l'envers la phrase : le rang d'une matrice est la taille de la plus grande sous-matrice inversible.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  10. #7
    ericcc

    Re : Enigme sur les valeurs propres

    Vous avez tous raison, l'erreur est bien là. Je l'ai compris après coup. Mais c'est le genre de faux paradoxe qui peut énerver si on prend le problème dans le mauvais sens. Je me suis dit que ce serait peut être utile à d'autres...d'où mon post

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