Une série embêtante ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Sauriez-vous comment je pourrais faire pour savoir si la série :



converge ou diverge ?
J'ai passé en revue quelques critères (comparaison,quotient,racine,é quivalence) mais aucun ne me permet d'avance

Une idée ?

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tu peux regarder les critères de Bertran, ce qui revient à comparer la série avec une certaine intégrale que tu reconnaitras.

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rvz

[invited7005a5b]

Tu peux essayer de comparer ta serie a l'integrale impropre de la fonction 1/xln(x) sur l'intervalle [2;+infini[.

[Bleyblue]

Salut rvz (ça fait un bail tiens )

Mais en fait c'est pour me préparer à mon examen d'analyse qui aura lieu dans deux semaines et ce critère la on ne l'a pas vu au cours donc ce n'est pas la peine

C'est juste au cas où ça serait faisable avec un des critères que j'ai cité ci dessus ...

merci

EDIT : Excuse moi Manu nos messages se sont croisés

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite42abb461]

Meme si le critere de bertand n'est pas explicitement au programme, les methodes qui permettent de l'etablir le sont, et ca peut t'etre posé: la fonction x->1/(xln(x)) est décroissante donc tu peux ecrire l'encadrement suivant pour tout k :
(Merci a quelqu'un qui maitrise le TEX de l'ecrire ((= )

[Bleyblue]

Je connais ce critère et je sais l'utiliser (enfin je savais le faire l'an dernier en tout cas )

Mais je n'aurai pas ça à mon examen pour la simple et bonne raison que meme les intégrales ne sont pas au progamme de ce dernier (le prof avance comme il peuuuutt )

mais merci bien

[Bleyblue]

Et celle ci alors :



Vous avez une idée ? (Notez bien que c'est moi qui invente des séries comme ça pour m'entrainer alors ça pourrait ne pas être triviale ...)

merci

[invite97a92052]

Salut,

Pour ça, le plus simple est le théorême d'Abel, et ta série est convergente.

[Bleyblue]

Ah oui juste, j'oublie toujours de l'utiliser celui la

merci !

[invite4b31cbd7]

Je vois pas comment ce théorème (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._%28analyse%29) peut s'appliqué ? Quelqu'un peut m'expliquer ?

[invite4ef352d8]

Salut !

ce n'est pas le bon "théorème d'abel"

celui dont on parle ici dit que :

si somme des an est une seri dont la suite des somme partielle est borné (par exemple la somme des sin(k) )

et que bn est une suite qui décroit vers 0, alors somme des an*bn converge.

c'est une géneralisation du critère spécial des series alterné (qu'on retrouve en posant an=(-1)^n )

[Bleyblue]

Oui

Notez tout de même qu'ici montrer que la somme des sin(k) est bornée me semble assez ardu. Il faudrait montrer qu'il existe une constante C réelle telle que :



soit inférieur à C pour tout N naturel.
Commen feriez-vous ça ?

merci

[invitebb921944]

Bonjour
Je dirais qu'elle est bornée si la valeur absolue de ta somme est inférieur à un réel pour tout N entier naturel.

En utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que la valeur absolue du sinus est positive et inférieure ou égale à 1, ça se fait sans trop de problèmes.

EDIT : et là je me dis que tu veux trouver une constance C qui ne dépend pas de N et je n'ai plus d'idées

[invite97a92052]

Salut,

C'est un classique
Calcule la somme , ta somme est la partie imaginaire (avec )

Ca te fait , mais attention, il faut que ne soit pas un multiple de

Ce truc là, tu peux le borner grossièrement avec des modules, ou en faisant apparaître un sinus... et ça borne du coup ET la partie réelle, ET la partie imaginaire.

[Bleyblue]

D'accord je vais voir ça, merci bien !

[Bleyblue]

Et pour 1/k.lnk il n'y a en fait pas besoins de critère de Bertrand ou d'intégrale

Le critère suivant suffit :

Si an est une suite décroissante alors :

converge ssi

converge

Ici ça permet de conclure rapidement

[invite4ef352d8]

certe, mais c'est tous de meme un critère beaucoup moins courant que les comparaisons intégrals.


dans le meme genre il y a :

si somme des Un est une serie divergente, et Sn la suite des sommes partielle, alors somme des Un/Sn diverge


en appliquant a la suite 1, on trouve la divergence de la seri harmonique, et en appliquant a 1/n on retombe sur un équivalent de ta serie.

[invite97a92052]

EDIT (grillé par Ksilver) : réponse au message #16 :

Oui, enfin bon, les séries de Bertrand, c'est un cas classique !

Exercice : discuter en fonction de a et de b de la nature de la série de terme général


Tu peux comparer la série avec l'intégrale par exemple. Perso j'aime bien poser u = ln x, la condition apparaît alors très clairement.

en fait comme ça on se ramène à l'étude de l'intégrale

[invite4b31cbd7]

Pourquoi le exp(1-a) dans ton intégrale, ça serait pas simplement exp(-a) ?

[invite97a92052]

Pourquoi le exp(1-a) dans ton intégrale, ça serait pas simplement exp(-a) ?

Euh, on a , non ?

[Bleyblue]

Et pour :



Aussi avec Bertrand ?

J'ai essayé avec le critère du quotient mais comment calculeriez vous la limite :



(sans utiliser le fait que e^k < k! à partir d'un certain K sinon c'est trop facile ... ou alors le démontrer )

merci

[Bleyblue]

Notez que de toute façon ma tentative avec le critère du quotient tombe à l'eau car cette limite vaut zéro (faut encore le montrer mais comme dirait mon professeur d'analyse "c'est un peu formel" et "géométriquement, c'est claire" )

[invite97a92052]

Tu ne parles pas plutôt de :



?

[Bleyblue]

Si mais après chipotage ça revient à celle que j'ai cité dans mon message (ln(a.b) = ln a + ln b ...)

EDIT:



et donc la limite de ce brol vaut 1 et donc le critère du quotient n'est pas concluant

[invite97a92052]

Ta limite vaut 1 et non pas 0 !
Si c'était zéro, ça serait trop facile (convergence rapide !)

EDIT : double croisement

[Bleyblue]

Je voulais dire que :

tend vers zéro

et que donc :



tend vers 1 et donc le critère du quotient ne nous avance à rien

[Bleyblue]

Je l'ai !!!

Il suffit de constater que :

donc



donc




et c'est terminééééé