Une limite embêtante

[Bleyblue]

Bonjour,

Je calcule des limites de fonctions de réelles depuis des années mais malheureusement je me retrouve une fois de plus bloqué

Comment feriez vous pour calculer :



J'ai essayé de le calculer avec l'hospital mais ça ne donne rien et j'aimerais évité d'utiliser les développements limités si possible

merci
-----

[Bruno]

Bonjour,

sin (1/+oo) = sin 0 = 0

On a donc 0.+oo

On peut utiliser ceci :

= =

Et ensuite dériver avec hospital..

[invite35452583]

Bonjour,

Je calcule des limites de fonctions de réelles depuis des années mais malheureusement je me retrouve une fois de plus bloqué

Comment feriez vous pour calculer :



J'ai essayé de le calculer avec l'hospital mais ça ne donne rien et j'aimerais évité d'utiliser les développements limités si possible

merci

Salut,
j'écrirais que et je changerais de variable pour tomber sur une dérivée très connue.

[invite8241b23e]

Salut !

Un changement de variable, avec X = 1/x ?

EDIT : et ben on est beaucoup à répondre à cette question !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah mais oui avec un changement de variable c'est tout bête en fait, désolé pour la question stupide

Ca me permet de conclure que :

diverge

[invite4b31cbd7]

Ah mais oui avec un changement de variable c'est tout bête en fait, désolé pour la question stupide

Ca me permet de conclure que :

diverge

Par curiosité, comme tu conclu ça avec ta limite ? (par message privé au pire )

edit : non c'est beau je viens de voir

[Bleyblue]

Par le critère d'équivalence vu que Sigma(1/k) diverge
et que la limite en l'infini

sin(1/k)/(1/k) vaut 1

[Bleyblue]

En voici une assez horrible (une suite) :



a vue de nez je dirais que ça diverge vers l'infini mais comment pourrais-je le montrer ?

merci

[invitec053041c]

Eh bien ln nous réserve toujours bien des surprises.

Peut-être qu'ici ça simplifirait les choses d'écrire que ln(k!)= ln(1) + ln(2) ... + ln (k)

[invite97a92052]

En voici une assez horrible (une suite) :



a vue de nez je dirais que ça diverge vers l'infini mais comment pourrais-je le montrer ?

merci

Salut,

je crois qu'on peut montrer que est équivalent en l'infini à , ce qui ferait bien ton affaire...

[Bleyblue]

Oui, ce que vous me dites la j'y ai pensé mais j'aimerais bien le montrer rigoureusement (bon ok je chipote )

Il faudrait en fait trouver une suite qui soit inférieur à celle-ci et dont on sait qu'elle diverge vers +oo, mais ce n'est pas simple (elle converge tout doucement celle-ci, j'ai essayé de faire un programme qui calcule quelques termes juste pour rire un coup ...)

[invitebb7355d1]

salut,

tu pourrais prendre une suite du type racine 10ème de k
qui sera, pour tout k>20 (+ ou -), inférieure à la tienne. comme la suite racine 10ème de k tend vers l'infini...

[invite8f53295a]

Bonjour,

En voici une assez horrible (une suite) :



a vue de nez je dirais que ça diverge vers l'infini mais comment pourrais-je le montrer ?

merci

Avec la formule de Stirling ? On sait que n! est équivalent à , comme les équivalents passent aux log, ta suite est équivalente à ln(n).

[invite4b31cbd7]

Juste comme ça, pourquoi ne pas simplement dire que la série est plus grande que 1/k pour un certain k>N et comme 1/ k diverge c'est réglé ?

ln(k!)/k > 1/k pour tout k>N avec N fini.

[invite97a92052]

Juste comme ça, pourquoi ne pas simplement dire que la série est plus grande que 1/k pour un certain k>N et comme 1/ k diverge c'est réglé ?

ln(k!)/k > 1/k pour tout k>N avec N fini.

Attention, tu parles de série, ici il est question d'une suite !

[invite35452583]

Si la formule de Stirling n'est pas sensé être a priori connu (je ne connaispas le programme des études de Bleyblue), on peut se contenter de :

On est assez loin de l'équivalence mais c'est suffisant pour la limite.

[Bleyblue]

Ah oui j'entends souvent parler de la formule de Stirling sans jamais savoir ce que c'était, je vais faire une faire une petite recherche un jour

tu pourrais prendre une suite du type racine 10ème de k
qui sera, pour tout k>20 (+ ou -), inférieure à la tienne. comme la suite racine 10ème de k tend vers l'infini...

D'accord mais il faudrait alors montrer que la suite est bien inférieur à la mienne (si je sors ça a un examen sans justification le correcteur va regarder ma copie d'un aire sceptique )

Que voulez vous dire par équivalence sinon ?

Pour ta méthode homotopie je veux bien mais il faut encore que je montre la première inégalité la, je vais essayer de voir comment faire ça

merci pour toutes vos réponses

[invite35452583]

Pour ta méthode homotopie je veux bien mais il faut encore que je montre la première inégalité la, je vais essayer de voir comment faire ça

Tout simplement ainsi :
ln(k!)=[ln(1)+...+ln(E(sqrt(k)]))]+[ln([E(sqrt(k))+1)+...+ln(k)] (E(.) : partie entière)
on majore le 1er [] par 0 et chacun des au moins k-sqrt(k) éléments du second crochet par ln(sqrt(k)).

[Bleyblue]

ah ? (ln(1) + ln(2) + ... ln(E(sqrt(k))) ) < 0 pour tout k ?

merci

[invite35452583]

On minore alors

[invite35452583]

J'ai fait plus compliqué que nécessaire, ceci suffit :
ln(k!)=[ln(1)+ln(2)+...+ln(E(k/2)]+[ln(E(k/2)+1)+...+ln(k)]
On minore le 1er crochet par 0
On minore le second par (k-E(k/2))ln(E(k/2)+1)>=(k/2)ln(k/2)
On conclut facilement ensuite (pour la limite).

[Bleyblue]

D'accord c'est plus claire (note que j'ai passé mon examen d'analyse ce matin et je n'ai pas eu d'inégalité pareille à montrer, heureusement pour moi )

merci !