Une limite en zero

[inviteb4b89598]

J'ai du mal a trouver la limite en 0 de (exp(x)-x-1)/x² ; j'ai essayé plusieurs methodes sans succes, pouvez vous m'aider ?
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[invited7005a5b]

Essaye de faire un developpement limité(dl) de exp(x) en 0, et a un ordre supérieur a deux

[invite19431173]

Essaye de faire un developpement limité(dl) de exp(x) en 0, et a un ordre supérieur a deux

Salut !

Au lycée, on a pa vu les DL...

[kNz]

C'est une blague le DL là ?
C'est même pas une forme indéterminée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19431173]

C'est même pas une forme indéterminée

T'es sûr ??!

[kNz]

Mes excuses, j'avais vu un x au dénominateur, avec le ² ça change la donne.

[Hamb]

ceci dit en séparant les soustractions ca fait exp(x)/x², 1/x, et 1/x² dont on connaît les limites respectives.

[inviteb4b89598]

C'est donc a priori irresolube avec un bac ? Autant pour moi alors. Merci quand même.

[inviteb4b89598]

Donc on a :
(exp(x)-x-1)/x² = exp(x)/x² - 1/x - 1/x². On a les limites en zéro par valeurs positives :
Lim(exp(x)/x²)=+infini
Lim(-1/x)=-infini
Lim(-1/x²)=-infini

La somme donne encore une FI pour x>0, et pour x<0 aussi.

Mais c'est a priori un exemple de limite indéterminable en terminale. Merci encore

[kNz]

ceci dit en séparant les soustractions ca fait exp(x)/x², 1/x, et 1/x² dont on connaît les limites respectives.

Cela dit ça ne nous donne pas la limite.. qui vaut en l'occurence 0,5.

[Hamb]

mea culpa j'avais pas vu que c'est la limite en 0

[prgasp77]

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27Hospital

[invite19431173]

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27Hospital

Interdit en TermS je crois...

[invitec053041c]

Interdit en TermS je crois...

La règle de l'Hospital est déjà très moyennement tolérée en sup .

[kNz]

Je confirme

[prgasp77]

Interdit en TermS je crois...

Oui c'est vrai, au temps pour moi (j'ai vérifié y'a bien la mention HL que notre prof aimait tant). Je réfléchi à comment lever l'indétermination avec les outils de Terminale ... eurékâ j'ai trouvé ! un DL ! ... ha non

[invite19431173]

Quelqu'un voit-il un changement de variable ?

[prgasp77]

Quelqu'un voit-il un changement de variable ?

J'y travaille, mais s'il est possible, il est ardu !

[invited7005a5b]

Franchement avec un dl s'est vite fait; A mon avis cette limite est quand meme compliquée pour les eleves de terminale

[prgasp77]

Franchement avec un dl s'est vite fait; A mon avis cette limite est quand meme compliquée pour les eleves de terminale

Il semble qu'elle soit impossible à calculer avec les outils de terminale. J'ai tenté nombre de changements de variables, de calculs de limites de suites (f(x_n))_n ... je n'arrive à rien

[invitec053041c]

Il semble qu'elle soit impossible à calculer avec les outils de terminale. J'ai tenté nombre de changements de variables, de calculs de limites de suites (f(x_n))_n ... je n'arrive à rien

Il semble qu'il faille dériver deux fois le numérateur et le dénominateur (hospital) pour trouver la limite. Or la démonstration de l'hospital est enfantine et fait justement apparaître des nombres dérivés. On peut sûrement en faire apparaître 2 en cascade, même si ça sera moche .

[prgasp77]

Il semble qu'il faille dériver deux fois le numérateur et le dénominateur (hospital) pour trouver la limite. Or la démonstration de l'hospital est enfantine et fait justement apparaître des nombres dérivés. On peut sûrement en faire apparaître 2 en cascade, même si ça sera moche .

Tu proposes de redémontrer la règle de l'Hospitale ?

[invite3a8c0277]

Il semble qu'il faille dériver deux fois le numérateur et le dénominateur (hospital) pour trouver la limite. Or la démonstration de l'hospital est enfantine et fait justement apparaître des nombres dérivés. On peut sûrement en faire apparaître 2 en cascade, même si ça sera moche .

Dériver une fois ca suffit je pense
ca fait lim (x->0) (exp(x)-1)/2x et comme lim (x->0) (exp(x)-1)/x=1 ( c'est une limite démontrée) alors c'est bien 1/2 la limite.
Pratique cet énoncé...

[prgasp77]

Pratique mais interdit en terminale comme on vient de me le rappeler.

Je pense que cette règle n'est plus enseignée parce qu'elle contient beaucoup d'hypothèses par rapport à sa simplicité (lim f/g = lim f'/g'). Beaucoup d'élèves oublierenait de les vérifier et concluraient hâtivement.

[invite35452583]

Bonjour,
d'accord que demander le calcul d'une telle limite en Tle S ne peut relever que d'un travail maison de "recherche".
Je pense qu'une voie n'utilisant que du matériel de Tle la plus simple est celle-ci :

On pose , montrer successivement que :
1) r est croissante sur R,
a) en déduire un encadrement de pour x>0,
b) en déduire un encadrement de pour x<0,
2) r(t)/t admet une limite nulle en t=0 (utilisation de la définition d'une dérivée, classique cela fait "sauter" un ordre dans l'indétermination, le passage par l'intégrale fait "sauter" le second)
En conclure que :
1)
2)

[inviteb4b89598]

Je ne crois pas avoir tout compris ou tu voulais en venir : r est croissante sur R avec r(0)=0 donc r(x) est du signe de x.
Donc pour x>0, et pour x<0

Mais apres ou veux tu en venir ? Je ne comprends pas le 2° en utilisant les intégrales.

[invite35452583]

On eut mieux faire que >0 ou >0.
Si m<f(t)<M sur [a,b] que peux-tu dire de l'intégrale de a à b de f(t)dt ?
Une fois fait tu devrais mieux comprendre le 2°

[invite1526f4a7]

Lim(exp(x)-x-1)/x²=Lim(y-ln(y)-1)/lny² (exp(x)=y)
x=>0 y=>1
=Lim(y-1)/lny² -lny/lny²
y=>1
=Lim1/lny *(y-1)/lny-lny/(ylny)
y=>1
=Lim 1/lny*((y-1)/lny) -1/y
y=>1
=+ infini

[Flyingsquirrel]

=Lim1/lny *(y-1)/lny-lny/(ylny)
y=>1

D'où vient le terme ?

[invited678abcd]

Pratique mais interdit en terminale comme on vient de me le rappeler.

Je pense que cette règle n'est plus enseignée parce qu'elle contient beaucoup d'hypothèses par rapport à sa simplicité (lim f/g = lim f'/g'). Beaucoup d'élèves oublierenait de les vérifier et concluraient hâtivement.

Je ne comprends pas : pour x -> 0, on m'a toujours appris que si on obtient une indétermination du style 0/0 ou infini/infini ... alors, on peut utiliser la règle de l'Hospital (2 fois dans ce cas et c'est recta : 1/2).
Quelqu'un peut me donner un contrexemple ou l'Hospital ne fonctionnerait pas ... je suis intrigué !!