bonjour
Dommage qu'on ne puisse pas utiliser la règle de L'Hospital ni un
développement limité ! Voici la solution que j'ai trouvée , je n'en suis
pas fier car elle est assez compliquée .
Soit l = lim(e^(x ) -x-1)/x² pour x = 0
Comme le x² en dénominateur est gênant , on va chercher
lim √(e^(x)-x-1)/x = y et l'on aura l = y²
Posons √(e^(x) -x-1) = u(x)
En Terminale on sait que lim[(u(x ) -u(0))/(x-0)] = la dérivée
de u(x) pour x = 0
Cette dérivée est (e^(x) - 1)/2√(e^(x) -x -1) = 0/0 !!!
ce qui donne y = lim[e^(x)-1)/2√(e^(x)-x -1]=
lim[(e^(x)-x-1)/2√(e^(x) -x-1) + x /2√(e^(x)-x-1) ]
Or : (e^(x) -x-1) /2√(e^(x)-x-1) = (1/2)*√(e^(x)-x-1) =0
et x/2√(e^(x)-x-1) = 1/(2y)
d'où y = 1/(2y)
y² = 1/2 et l = 1/2
Naturellement toute critique sur ce calcul sera la bienvenue !
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