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Limite embêtante



  1. #1
    Bleyblue

    Limite embêtante


    ------

    Bonjour,

    J'aimerais savoir s'il y a un moyen "simple" pour calculer la limite :



    J'ai essayé sur plusieurs chemins et je tombe à chaque fois sur 0 mais je ne vois pas comment le montrer.

    Le problème c'est que pour les limites des fonctions de plusieurs variables mon arsenal est fort réduit, mise à part le théorème du coinçage (ou des gendarmes ou de l'étau, comme vous voulez) je n'ai pas grand chose ...

    Une idée ?

    merci

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Limite embêtante

    Une idée : en écrivant x²+y² = (x+y)²-2xy, on arrive à une somme de deux termes dont on voit facilement que le premier tend vers 0. Pour le deuxième -2xy/sin(x+y) je ne vois pas de méthode évidente ?

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Limite embêtante

    Citation Envoyé par ericc
    on voit facilement que le premier tend vers 0
    oui, mais j'ai malgré tout un doute sur la manière dont ça se démontre.

    Je peux faire ça ainsi :

    1) x + y tend vers zéro lorsque x et y tendent vers zéro (car il s'agit d'une fonction polynomiale donc continue)

    2) Posons z = x + y
    Alors la limite se ramène à calculer la limite pour z tendant vers zéro de z²/sin(z) ce qui vaut bien zéro

    Ca marche ça ?

    merci

  5. #4
    Ksilver

    Re : Limite embêtante

    il me semble que le résultat est faux : on considere la suite : Xn=1/n , Yn =-(1/n)+(1/n!)

    sin(Xn+Yn ) ~ 1/n!

    et Xn²+Yn² ~ 1/n²

    donc f(Xn,Yn)~ n!/n² -> +infinit

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Calvert

    Re : Limite embêtante

    Salut!

    Je ne sais pas à quel point c'est valable. Mais si on pose:





    On a ainsi:



  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Limite embêtante

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    il me semble que le résultat est faux : on considere la suite : Xn=1/n , Yn =-(1/n)+(1/n!)

    sin(Xn+Yn ) ~ 1/n!

    et Xn²+Yn² ~ 1/n²

    donc f(Xn,Yn)~ n!/n² -> +infinit
    Beau contre-exemple. Bravo !
    Ca revient à dire que (sin@ + cos@) peut aussi tendre vers zéro.

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  10. #7
    ericcc

    Re : Limite embêtante

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    il me semble que le résultat est faux : on considere la suite : Xn=1/n , Yn =-(1/n)+(1/n!)


    et Xn²+Yn² ~ 1/n²
    Euh pourquoi ?

    Pour Bleyblue : pour moi ta démo est valable

  11. #8
    ericcc

    Re : Limite embêtante

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Beau contre-exemple. Bravo !
    Ca revient à dire que (sin@ + cos@) peut aussi tendre vers zéro.
    La fonction n'est pas définie pour x+y=0, mais j'ai l'impression qu'elle tend néanmoins vers 0 ?

    En posant y=-x+e avec e petit on trouve (2x²-2xe+e²)/sin(e)

    A x fixé cela tend vers zéro avec e, non ?

  12. #9
    homotopie

    Re : Limite embêtante

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    oui, mais j'ai malgré tout un doute sur la manière dont ça se démontre.

    Je peux faire ça ainsi :

    1) x + y tend vers zéro lorsque x et y tendent vers zéro (car il s'agit d'une fonction polynomiale donc continue)

    2) Posons z = x + y
    Alors la limite se ramène à calculer la limite pour z tendant vers zéro de z²/sin(z) ce qui vaut bien zéro

    Ca marche ça ?

    merci
    Bonjour,
    la méthode est bonne mais ne résoud que la convergence de (x+y)²/(sin(x+y)) en (0,0). On eut aussi dire que sin(x+y) est équivalent à x+y en (0,0) ce qui simplifie encore.
    Maintenant cela ne résoud pas la partie xy/(x+y). Le contre-exemple donné par Ksilver rend vain par ailleurs toute recherche d'un tel résultat, ta fonction n'est pas continue en (0,0).
    La "démo" de Calvert souffre de la remarque donné par Jean-Claude cos(@)+sin(@) peut tendre vers 0 @=-pi/4 ou 3pi/4 par exemple (c'es le cas dans le contre-exemple de Ksilver)
    Remarque si on restreind x et y à avoir même signe alors ça converge vers 0. (La démo de Calvert fonctionne car on peut borner cos(@)+sin(@) et on s'en sort alors avec des équivalences, gendarmes ...)

    ericcc tu viens, je pense, seulement de redécouvrir que la continuité d'une fonction de plusieurs variables en un point est une condition plus forte que la continuité en chaque variable.

    Cordialement

  13. #10
    ericcc

    Re : Limite embêtante

    La fonction n'est pas continue en (0,0), car pas définie sur la droite y+x=0. Mais la question de Bleyblue est la limite de cette fonction en (0,0) sur son domaine de définition.

    Ceci dit le contre exemple de Ksilver est bon, et la fonction n'a pas de limite en (0,0). My mistake.

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Limite embêtante

    merci pour vos réponses mais ça me chiffone un peu moi car si je fais ça :



    La première limite converge vers 1 et la deuxième vers zéro ce qui livre mon résultat, mais le contrexemple de Ksilver jette tout par terre on dirait

    merci

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Limite embêtante

    Attendez je me suis planté en calculant la limite de (x² + y²)/(x + y), je dois refaire mes calculs ...

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  17. #13
    ericcc

    Re : Limite embêtante

    La deuxième partie converge vers 1, mais la première diverge comme l'a montré Ksilver. En effet tu as toujours le terme en xy/x+y

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Limite embêtante

    Ah oui juste ... mince ce n'est pas évident ...

    merci

  19. #15
    Ksilver

    Re : Limite embêtante

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Euh pourquoi ?

    Pour Bleyblue : pour moi ta démo est valable


    euh tu as raison, c'est 2/n² pas 1/n².

    Xn²+Yn² = 1/n²+1/n²+1/n!² -2/(n*n!) ~2/n²

  20. #16
    Jeanpaul

    Re : Limite embêtante

    L'idée est qu'en même temps que le point (x;y) se rapproche de l'origine, il se rapproche de la droite x+y=0 où l'expression n'est pas définie.
    Imaginons que le point suive une courbe dont l'expression paramétrique est :
    x = t
    y = - t + t²
    Alors x² + y² est équivalent à 2 t² et sin(x+y) est équivalent à t² quand t tend vers zéro.
    La limite vaut alors 2.
    On peut jouer sur l'exposant du second terme et tendre vers n'importe quoi entre 0 et l'infini.

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