Détermination des sous-groupes de (R,+)

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis penché sur un problème qui consiste à déterminer les sous-groupes de (R,+), mais il y a deux questions qui me gênent :

En posant H un sous-groupe de (R,+) et , j'ai montré qu'il existe tel que , puis que si , alors il existe tLel que , et je dois en conclure que ; le problème, c'est que je vois vraiment pas pourquoi ce serait le cas, puisque si , alors on trouver une infinité de termes de H entre et , ce qui ne me semble pas gênant...

La seconde question doit certainement avoir une réponse simple, mais je ne la vois pas : on a montré le résultat suivant : , et il s'agit d'en déduire que H est dense dans ; il s'agit donc de trouver tel que , ce qui serait immédiat si on avait , mais ce qui n'est a priori pas le cas...

Quelqu'un pourrait-il me donner une indication pour ces deux questions ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Seirios]

Une précision importante : pour la première question, on considère que , et dans la seconde, que .

Je pense avoir finalement trouvé pour la première question, en raisonnant par l'absurde, en supposant : par la caractérisation de la borne inférieure, ; notamment, si on pose , y étant celui de l'énoncé, alors , ce qui est contradictoire avec , puisque .

Par contre, je ne vois toujours pour la seconde question sur la densité...

[invite4793db90]

Salut,

intuitivement, si les éléments d'un sous-groupe de R peuvent s'approcher arbitrairement près de zéro, alors, ils peuvent s'approcher arbitrairement près de n'importe quel nombre par translation (par l'axiome d'Archimède).

Je te laisse formaliser tout ça.

Sinon, un exemple concret de groupe dense dans R est , où d est l'entier non carré que tu préfères.

Cordialement.

[invite986312212]

salut,
je ne vois pas ce qui te pose problème. Si la borne inférieure des éléments de H positifs est nulle, cela signifie qu'il y a dans H des éléments positifs aussi petits qu'on veut. Par Archimède on peut donc encadrer n'importe quel réel par deux éléments de H aussi proches qu'on veut, d'où la densité.

edit: grillé

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je voyais bien qu'il s'agissait de translater l'intervalle, mais je n'ai même pas pensé à utiliser l'axiome d'Archimède...Sur vos indications, voilà ce que j'ai fait :

On considère , où x est un réel fixé tel que ; A est une partie de et est non vide puisque est archimédien. Donc A admet un plus petit élément que l'on notera ; on a et l'on peut montrer par l'absurde que . Supposons ; alors , ce qui est contradictoire.

Donc on a finalement montré que pour tout , il existe tel que , d'où H dense dans , puisque .

Ce n'est peut-être pas la méthode la plus simple, mais elle a l'air de fonctionner ; merci

Sinon, un exemple concret de groupe dense dans R est , où d est l'entier non carré que tu préfères.

Dans un problème, on a montré que est dense dans si est un irrationnel, sinon peut se mettre sous la forme .