Multiplicateur de lagrange (optimisation)

[invite7f0233d4]

Salut.
J'aimerais savoir sur quelle base a été détérminé (démo) la méthode de "lagrange" en ce qui concerne la determination de l'extrémum d'une fonction sous contrainte d'égalité?

Merci.
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[acx01b]

salut,

lis la partie introduction de la page wikipedia/lagrange_multipliers ça m'avait aider à comprendre (contour c'est une ligne de niveau)

[invite7f0233d4]

salut,
lis la partie introduction de la page wikipedia/lagrange_multipliers ça m'avait aider à comprendre (contour c'est une ligne de niveau)

Pas évident!
Pourquoi doit on avoir ?
f:fonction ; g:contrainte.

[acx01b]

salut

en un point x0:
gradient_f(x0) = lambda Gradient_f(x0) <=> au point x0, la ligne de niveau (G(x) = c) est tangeante à la ligne de niveau (f(x) = f(x0))

si t'es d'accord avec ça alors

l'idée c'est de regarder la contraposée : si les lignes de niveaux ne sont pas tangeantes l'une à l'autre, alors elles se croisent, et donc il suffira d'avancer ou de reculer d'un "petit" pas sur la ligne de niveau (g(x) = c) on pourra augmenter la valeur de f

donc être sur un max ou min local implique que les lignes de niveaux soient tangeantes l'une à l'autre

c'est tout ! (pour l'intuition)

après la formalisation mathématique doit être assez compliquée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7f0233d4]

salut

en un point x0:
gradient_f(x0) = lambda Gradient_f(x0) <=> au point x0, la ligne de niveau (G(x) = c) est tangeante à la ligne de niveau (f(x) = f(x0))

si t'es d'accord avec ça alors

Si on a un g(x₁,x₂)=0 : sous forme de l'équation d'un plan.

gradient_f(x₀) = lambda Gradient_g(x₀).
Cela signifira que la tangente de f au point x₀ sera paralélle à la normale au plan!!
...?

[acx01b]

pardon j'ai écrit n'importe quoi (oublié de modifier)

gradient_f(x0) = lambda gradient_g(x0) <=> au point x0, la ligne de niveau (G(x) = c) est tangeante à la ligne de niveau (f(x) = f(x0))




Si on a un g(x1,x2)=0 : sous forme de l'équation d'une droite (hyperplan en 2 dimension <=> droite).

gradient_f(x0) = lambda Gradient_g(x0).
Cela signifira que la tangente à la ligne de niveau (f(x) = f(x0)) sera paralélle à la normale au plan

oui, c'est à dire qu'on est sur un point stationnaire (sinon la droite croise la ligne de niveau et donc on a intéret soit à avancer soit à reculer sur la droite pour augmenter f)

[invite7f0233d4]

gradient_f(x0) = lambda Gradient_g(x0).
Cela signifira que la tangente à la ligne de niveau (f(x) = f(x0)) sera paralélle à la normale au plan

oui, c'est à dire qu'on est sur un point stationnaire (sinon la droite croise la ligne de niveau et donc on a intéret soit à avancer soit à reculer sur la droite pour augmenter f)

Je ne pige pas!!
A plus.

[acx01b]

je tente autre chose :

si en un point P, un chemin plat est tangeant à un chemin quelconque en montagne, alors le chemin quelconque est localement plat en ce point

==> ce qu'on appelle point stationnaire, dont les min et les max locaux font partie