help petite intégrale

[invite76ab1bf3]

Bonjour,

Voici ce qui me pose problème :

Équation passée en pièce jointe. Pas d'image sue un serveur extérieur - JPL, modérateur

D'avance merci,
-----

[invite61601559]

Pourquoi ce - ????

X est dans quel intervalle ? A est quoi ?

[Armen92]

Il suffit d'écrire la définition de la dérivée, d'utiliser la continuité de l'intégrand et de passer à la limite.

[invite76ab1bf3]

Pourquoi ce - ????

X est dans quel intervalle ? A est quoi ?

Ha oui pardon...
X est positif
A est une constante

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76ab1bf3]

Il suffit d'écrire la définition de la dérivée, d'utiliser la continuité de l'intégrand et de passer à la limite.

Heu merci...
Mais je comprends pas bien...

[invite61601559]

signe de A ? A constante négative normalement ...ici car la réponse est -......

[Armen92]

Heu merci...
Mais je comprends pas bien...

Je n'avais pas vu le signe à droite : c'est + et non -. L'intégrale est visiblement une fonction croissante de si , décroissante si .
Petite démonstration rapide :
Soit . Par définition, la dérivée est la limite si elle existe :

La continuité de l'exponentielle permet d'écrire :

où tend vers zéro avec . L'intégrale est alors :

Cette dernière intégrale est majorée par , d'où la limite, après division par :

La dernière limite est nulle, d'où le résultat.

[invite76ab1bf3]

signe de A ? A constante négative normalement ...ici car la réponse est -......

non non A est positif...

[invite76ab1bf3]

Je n'avais pas vu le signe à droite : c'est + et non -. L'intégrale est visiblement une fonction croissante de si , décroissante si .
Petite démonstration rapide :
Soit . Par définition, la dérivée est la limite si elle existe :

La continuité de l'exponentielle permet d'écrire :

où tend vers zéro avec . L'intégrale est alors :

Cette dernière intégrale est majorée par , d'où la limite, après division par :

La dernière limite est nulle, d'où le résultat.

Merci beaucoup,
Mais sommes nous obligés de passer par la limite ?
N'y a-t-il pas une solution moins.. mathématique... ??
Je ne suis pas très à l'aise avec ça... A la limite qqch de plus "avec les mains".. moins rigoureux surement...

[invite76ab1bf3]

c'est vrai qu'il n'y a pas le moins dans le membre de droite...

[Armen92]

Merci beaucoup,
Mais sommes nous obligés de passer par la limite ?
N'y a-t-il pas une solution moins.. mathématique... ??
Je ne suis pas très à l'aise avec ça... A la limite qqch de plus "avec les mains".. moins rigoureux surement...

Oui, avec les mains, c'est possible :
a) Tracer un morceau du graphe de la gaussienne (la fonction qui est sous l'intégrale)
b) Choisir deux points voisins A et B, d'abscisses et , et les points C et D correspondants du graphe.
c) Quand A et B se rapprochent l'un de l'autre, l'aire du trapèze ABDC est de plus en plus proche de la dérivée cherchée...

C'est certes moins rigoureux mais pas moins légitime !
Bonne soirée

[invite61601559]

non non A est positif...

La réponse ne comporte pas de - car on intègre une fonction exp donc POSITIVE sur l'intervalle [ 0 ; x/A] donc x>0 et A >0 sinon l'écriture de l'intervalle n'a pas de sens .
La bonne réponse est avec +
ce n'est qu'une application de cours on demande la dérivée ( en x ) de la fonction composée où x a pour image x/A=v suivie de la fonction où v a pour image intégrale de 0 à v de g(u)du

ici g(u) = exp(-v²) donc la dérivée est ( x/a)' g( x/A) =1/A exp(-(x/A)²)

[invite61601559]

(x/A) ' g(x/A)=1/A exp(-(x/A)²) ( légère correction )

[ericcc]

Tout cela me parait bien compliqué. La fonction exp(-x²) est continue et intégrable sur IR [exp(-x²)<1/x²]
Soit F une primitive de exp(-x²), alors l'expression s'écrit F(x/A)-F(0) et la dérivée est naturellement 1/A F'(x/A)=1/A*exp(-x/A)² comme le dit Transam.

[invite61601559]

Merci Ericcc

Le problème avec cette dérivée partielle montre que l'on a une courbe de Gauss ( voir loi Normale en proba ) et que
L'ON NE PEUT PAS TROUVER DE PRIMITIVE DE exp(-x²) parmi les primitives usuelles. Cependant on doit dériver une fonction exprimée à l'aide d'une intégrale dont une borne est fonction de x il faut donc appliquer la formule de la composition de deux fonctions ou beaucoup plus compliqué...Ecrire la définition de la dérivée et calculer une limite ( voir au_dessus)

[ericcc]

Pour la primitive de exp(-x²), elle existe bien entendu : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_d%27erreur, mais n'est pas exprimable à l'aide des fonctions zuzuelles
Tu remarqueras que dans mon raisonnement je n'ai pas besoin de son expression pour calculer la dérivée (pourquoi partielle d'ailleurs ? Cette intégrale ne dépend que d'une seule variable).
Ceci dit nous sommes en fait d'accord, je réagissais surtout au post de Armen92

[Armen92]

....
Ceci dit nous sommes en fait d'accord, je réagissais surtout au post de Armen92

Bonsoir,
Compliqué, compliqué : tout dépend du point de vue que l'on a par rapport à l'idée que l'on s'en fait !
J'ai présupposé que weeman25 n'avait pas eu l'occasion d'apprendre certains théorèmes et c'est pourquoi je lui ai d'abord proposé une petite démonstration directe.
Trop formelle à son goût, comme il l'a exprimé, j'ai donné un argument géométrique intuitif.
Tout ceci n'a vraiment rien de compliqué, si ?
Maintenant, c'est sûr, quand on connaît la théorie de la mesure, on peut faire plus "simple"...
Bien cordialement.

[ericcc]

Pourquoi faire appel à la théorie de la mesure ?
Il suffit de connaitre le théorème fondamental de l'analyse http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._int%C3%A9gral
C'est vu en Terminale, non ?

[Armen92]

.......
1) Il suffit de connaitre le théorème fondamental de l'analyse http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._int%C3%A9gral
2) C'est vu en Terminale, non ?

Bonsoir,
1) C'est sûr.
2) C'est pas sûr, de nos jours.
L'expérience montre que les étudiants de 1ère année (et souvent des années suivantes...) ne savent pas ce qu'est l'intégrale de Riemann.
3) Le "théorème fondamental de l'analyse", comme le présente Wiki ("... les deux opérations de base de l'analyse, la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre.") n'est pas toujours pertinent (exemple, les fonctions de Cantor, de Minkowski,...).
Cordialement

[ericcc]

Bonsoir,

3) Le "théorème fondamental de l'analyse", comme le présente Wiki ("... les deux opérations de base de l'analyse, la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre.") n'est pas toujours pertinent (exemple, les fonctions de Cantor, de Minkowski,...).
Cordialement

Oui mais c'est la raison pour laquelle je précise que exp(-x²) est continue sur IR, c'est quand même une fonction gentille