Continuité d'une dérivée

[invite64e915d8]

Bonjour,

J'essaye de résoudre un exo dans lequel on me donne une fonction dérivable sur R et dont lim f(x) = +infini (quand x tend vers + ou - infini) et on me demande de démontrer que f'(x)=0 admet une solution dans R.

Je voulais démontrer cela en disant que si lim f(x) = +infini (quand x tend vers -infini) alors f est décroissante sur un intervalle, et donc que f'(x) < 0 admet au moins une solution dans R.
De la même façon je démontre que f'(x) > 0 admet aussi au moins une solution dans R.
Enfin par extension du TVI, il existe tel que

Cependant ai-je raison de supposer que f' est continue sur R (ou dire qu'une fonction est dérivable sur R implique-t-il que sa dérivée est continue sur R) ?

Merci d'avance
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[mx6]

Bonjour,

Je suppose que ta fonction est dérivable dans .

Par hypothèse sur les limites, pour tout il existe donc tel que pour tout , , de même il existe tel que pour tout , . Vu que la fonction est continue, il existe donc et tel que et . Ainsi par le théorème de Rolle pour sur permet de conclure.

EDIT : Il faut vraiment l'hypothèse que la fonction soit dérivable sur R, sinon c'est faux, par exemple la fonction valeur absolue..

[invite64e915d8]

Tout d'abord merci de ta réponse rapide, je n'avais pas pensé au théorème de Rolle

Cependant je ne comprends pas pourquoi pour tout il devrait exister tel que pour tout,

Ne devrait-ce pas être, il existe au moins un ?

[mx6]

Enfaite, il y a un petit bug dans ma démonstration, et tu as bien raison ^^ J'ai pas fait attention, il existe N tel que pour N'>N .. là ca devrait marcher

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

ou dire qu'une fonction est dérivable sur R implique-t-il que sa dérivée est continue sur R) ?

C'est faux (même si on ne rencontre pas souvent de telles fonctions ). Prends par exemple la fonction définie sur par

.

Cette fonction est clairement dérivable si et l'on a alors . Elle est aussi dérivable en 0 car

Par conséquent et est dérivable sur ... mais la dérivée n'est pas continue à l'origine car la limite

n'existe pas (quand tend vers 0 tend aussi vers 0 mais diverge).

Je suppose que ta fonction est dérivable dans .

Par hypothèse sur les limites, pour tout il existe donc tel que pour tout , , de même il existe tel que pour tout , . Vu que la fonction est continue, il existe donc et tel que et . Ainsi par le théorème de Rolle pour sur permet de conclure.

Enfaite, il y a un petit bug dans ma démonstration, et tu as bien raison ^^ J'ai pas fait attention, il existe N tel que pour N'>N .. là ca devrait marcher

Je pense qu'il vaudrait mieux exhiber un qui convient plutôt que de se contenter de dire qu'il existe. On peut par exemple prendre : comme on sait qu'il existe tel que puis avec le théorème des valeurs intermédiaire on prouve l'existence d'un tel que . On montre de même qu'il existe un tel que et l'on conclut avec le théorème de Rolles appliqué sur .