analyse

[invitec5b2e3e6]

bonjour,
on a f:[0,1]→[0,1] continue telle que

fₒf(x)=x , pour tout x ϵ [0,1]

1/montrer que f est strictement monotone
2/dans le cas ou f est strictement croissante montrer que f(x)=x pour
tout x ϵ [0,1]
3/si f est strictement décroissante montrer que la solution de (
fₒf(x)=x , pour tout x ϵ [0,1] ) n'est pas unique
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[MMu]

1) . On a , donc est injective.
Supposons que n'est pas stictement monotone .
Il existe alors tels que ou .
Tu arrives à une contradiction avec le théorème des valeurs intermédiaires.
2) Supposons qu'il existe tel que . est strictement croissante, donc d'où la contradiction .
Je te laisse voir le cas
3) Soit . Montre que la fonction définie par , , est une solution.
En général , soit et soit une fonction continue et décroissante telle que . On note sa réciproque.
La fonction , est solution du problème.