correction exercice densité de probabilité

[invite13e0016f]

Bonjour,

voilà, j'ai fait mon dernier exercice sur les variables aléatoires. Pourriez-vous me dire si c'est correct et m'aider pour la 2ème question svp?

Enoncé: Soit X une variable aléatoire de densité f(x)= (k*e[-(lnx -1)²/8])/(2*x*rac(2Pi)) si x>0 et 0 sinon.

1/Déterminer la valeur de k
2/ Déterminer la loi de la variable aléatoire Y=lnX, calculer P(0.5 <= Y < 3)

Réponse:

1/ j'intègre f(x) de 0 à +infini. Pour cela, j'effectue un changement de variable ( t= (lnx -1)/2 ) de manière à obtenir une fonction à intégrer du type e-t²/2/rac(2Pi) et je l'intègre alors de -infini à +infini car limite en 0 de t = - infini et lim en +infini de t = +infini.

Pourriez-vous me confirmer que mes bornes sont bonnes?

Je trouve donc k=1

2/Y=lnX <=> X=eY.
Si G est la fonction de répartition de Y, on a G(y)=P(Y <= y)=P(X <= ey)
Cela est égal à l'intégrale de -infini à ey de f(x)

mais je n'arrive pas à intégrer cette fonction en raison des bornes: j'ai essayé de procédé comme pour la question 1 mais ln(x) n'est pas défini en -infini, je ne sais donc pas comment remplacer les bornes lors du changement de variable.

La loi de Y serait alors la dérivée de G(y).

Pouvez-vous m'aider svp?

Merci
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[inviteec9de84d]

Salut,
la fonction déterministe utilisée pour le changement de v.a. Y=g(X)=ln(X) étant bijective et dérivable de R+* -> R, tu pourrais utiliser la relation de dérivation des fonctions composées:

[invite13e0016f]

Bonsoir.

Si je comprend bien, je n'ai pas besoin(dans la 2ème question) d'effectuer un changement de variable. C'est bien ça?
Mais je ne comprends toujours pas comment faire pour le cas de -infini à 0.

[inviteec9de84d]

Non, dans la 2ème question il n'est pas nécessaire de passer par les fonctions de répartition.
=> Pas besoin d'intégrer

[A voir en vidéo sur Futura]